N-ten Wurzeln aus 2 l.u. Über IQ

22.05.2012, 13:58

Ungewiss

N-ten Wurzeln aus 2 l.u. Über IQ

Hallo zusammen,

Ich versuche mich schon seit einiger Zeit an der Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die algebraischen Zahlen $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ , über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Davor sollte man beweisen, dass die Logarithmen von Primzahlen lin. unabh. über IQ sind, das ging mit dem Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung noch relativ leicht, aber hier finde ich keinen Ansatz, der vielversprechend ist.

Thematisch befassen wir uns gerade mit Körpertheorie, und sind da noch sehr am Anfang, also sehr viel kann ich nicht benutzen( Minimalpolynome, Gradsatz sind bekannt). ich habs mit Induktion probiert, um nachzuweisen, dass
$\begin{eqnarray*} A_n :=\{ \sqrt[k]{2}\ \big| 2\leq k\leq n\} \end{eqnarray*}$ über Q lin. u. ist, für alle natürlichen n>1 aber weiter komme ich damit auch nicht. Es gelingt mir nämlich nicht aus der Annahme der linearen Abhängigkeit einen Widerspruch zu erzeugen.

Internetrecherche brachte nichts und in einem Buch fand ich bisher auch nichts zu dieser Aufgabe, wobei es natürlich sein kann, dass ich nach dem falschen suche.

Über irgendwelche Hinweise oder Bemerkungen mit welchen Methoden man das Anpacken kann, bin ich sehr dankbar!

22.05.2012, 18:12

Elvis

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Nach meinem Verständnis sind die n-ten Wurzeln aus 2 n Nullstellen eines Polynoms vom Grad n. Die sind gar nicht linear unabhängig, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ sind die beiden 2-ten Wurzeln aus 2, und dafür gilt die nichttriviale Darstellung $\begin{eqnarray*} 1\cdot \sqrt 2+1\cdot (-\sqrt 2)=0 \end{eqnarray*}$

22.05.2012, 18:20

Ungewiss

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Das habe ich wohl missverständlich formuliert, es geht um die Menge $\begin{eqnarray*} \{ \sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2},\ldots\} \end{eqnarray*}$ und mit den Wurzeln meint man die eindeutig bestimmte positive reelle Wurzel. Als Hinweis ist noch gegeben, dass man benutzen kann, dass x^n-2 das Minimalpolynom von der nten Wurzel aus 2 ist.

22.05.2012, 18:24

Elvis

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Ja, dann glaube ich das schon eher ... man reiche mir einen Beweis ... verwirrt

22.05.2012, 18:25

Leopold

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Betrachten wir die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \alpha_2 2^{\frac{1}{2}} + \alpha_3 2^{\frac{1}{3}} = 0 \ \ \text{mit} \ \ \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} t = 2^{\frac{1}{6}} \end{eqnarray*}$ heißt das:

$\begin{eqnarray*} \alpha_2 t^3 + \alpha_3 t^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Nach Division durch $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \alpha_2 t + \alpha_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Wäre nun $\begin{eqnarray*} \alpha_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so folgte: $\begin{eqnarray*} t = 2^{\frac{1}{6}} = - \frac{\alpha_3}{\alpha_2} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , was bekanntermaßen falsch ist. Also ist $\begin{eqnarray*} \alpha_2 = 0 \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} \alpha_3 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht läßt sich dieses Vorgehen verallgemeinern. Irgendetwas mit dem kgV.

22.05.2012, 19:21

Ungewiss

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Zitat:

Original von Leopold
Für $\begin{eqnarray*} t = 2^{\frac{1}{6}} \end{eqnarray*}$ heißt das:

$\begin{eqnarray*} \alpha_2 t^3 + \alpha_3 t^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Wäre das nicht schon hier ein Widerspruch dazu, dass das Minimalpolynom von der 6. Wurzel aus 2 Grad 6 hat? Irgendwie glaube ich gerade ziemlich auf dem falschen Dampfer zu sein.

Denn dann könnte man das ja sehr leicht verallgemeinern, indem man
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \alpha_k 2^{\frac{1}{k}}=0 \end{eqnarray*}$
betrachtet, $\begin{eqnarray*} t=2^{1/ kgV} \end{eqnarray*}$ setzt und damit
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \alpha_k t^{\mathrm{kgV}/k}=0 \end{eqnarray*}$
Erhält. Damit hätte man ein Polynom vom Grad kgV/2 mit 2^1/kgv als Nullstelle, wobei kgv=kgv(2,3,...n).

Edit: Mein Zweifel, ob das stimmt, ist nur dadurch begründet, dass du( Leopold) es nicht gesehen hast, falls es tatsächlich so einfach gehen sollte( unter der Voraussetzung, dass das Minimlpolynom beaknnt ist).

22.05.2012, 21:43

Leopold

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Ich finde, das klingt vernünftig. An einer Stelle würde ich vorsichtiger formulieren (mit $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bezeichne ich das kgV der Zahlen von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ):

Wären in der Gleichung nicht alle $\begin{eqnarray*} \alpha_k=0 \end{eqnarray*}$ , so wäre $\begin{eqnarray*} t = 2^{\frac{1}{m}} \end{eqnarray*}$ Nullstelle eines Polynoms von einem Grad $\begin{eqnarray*} \leq \frac{m}{2} \end{eqnarray*}$ (man kennt den Wert von $\begin{eqnarray*} \alpha_2 \end{eqnarray*}$ im Moment noch nicht, daher hier kleinergleich). Das geht aber nicht, da das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ den Grad $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ besitzt. Also sind doch alle $\begin{eqnarray*} \alpha_k = 0 \end{eqnarray*}$ .

22.05.2012, 21:48

Ungewiss

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Vielen Dank für deine Hilfe!

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