Kernschätzer

22.05.2012, 14:35	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Kernschätzer Meine Frage: Zeigen Sie, dass aus der Bedingung $\begin{eqnarray} \int K(u)\, du=1 \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \int\hat{f}_{h}^{K}(u)\, du=1 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Hallo! Zunächstmal muss ich zu dieser Aufgabe dazu sagen, dass es um Kerndichteschätzung geht und von daher wird mit $\begin{eqnarray} \hat{f}_{h}^{K} \end{eqnarray}$ wohl der Kernschätzer $\begin{eqnarray} \hat{f}_{h}^{K}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right) \end{eqnarray}$ gemeint sein. Mit $\begin{eqnarray} \int \end{eqnarray}$ ist hier sicherlich $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \end{eqnarray}$ gemeint. Zum Beweis: Ich habe es mit Substitution bewiesen. $\begin{eqnarray} \kappa_i=\frac{u-X_i}{h}, du=h\cdot d\kappa_i \end{eqnarray}$ , dann: $\begin{eqnarray} \int\hat{f}_{h}^{K}(u)\, du=\frac{1}{n}\int\sum_{i=1}^{n}K(\kappa_i)d\kappa_i \end{eqnarray}$ Dann kann man Integral und Summe vertauschen (dies kann man ja nach einer Folgerung aus dem Satz für monotone Konvergenz) und hat also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\int K(\kappa_i)d\kappa_i \end{eqnarray}$ Und die Summe der Integrale ist nach Voraussetzung gerade n. Also ergibt sich als Ergebnis 1. Ist das ein korrekter Beweis?
25.05.2012, 11:31	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich da noch etwas erwarten - oder ist die Frage hiermit ausgestorben?

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