Polarkoordinaten berechenen

26.01.2007, 21:29

chris85

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Polarkoordinaten berechenen

Hi,
Ich habe hier meine Probleme.Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

Rechnen Sie für $\begin{eqnarray*} z=x+iy \in \mathbb C \backslash {0} \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} z=re^{iv} \end{eqnarray*}$ nach, wenn $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ wie folgt definiert sind: $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2 + y^2} , v= \{ \begin{pmatrix}arccos(x/r) \ fuer \ y \geq 0 \\ 2 \pi - arccos(x/r) \ fuer \ y<0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schreiben Sie die Zahlen $\begin{eqnarray*} -3 , 4i , -5i , -e^{2i} , ie^{it} (t \in \mathbb R), 1+i , -1-i \ und \ (1+i)^{2007} \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} re^{iv} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich leider nicht richtig was bzw wie ich das tun soll.
Als erstes muss ich doch zeigen dass $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} z = re^{iv} \end{eqnarray*}$

Dazu hätte ich dann einfach die Definitionen eingesetzt und so die Form zeigen wollen. Ich krieg das aber nicht so hin. Geht das überahupt so oder wie muss ich da anfangen?

Gruß Chris

26.01.2007, 21:34

chris85

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Was meine andere idee war: $\begin{eqnarray*} re^{iv} = r(cos(v)+i*sin(v)) \end{eqnarray*}$ zu schreiben,was sich aus der eulerschen Formel ergibt. aber wie dann weiter?

Gruß Chris

26.01.2007, 23:38

yeti777

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RE: Polarkoordinaten berechenen
Hallo Chris!

Bei solchen Aufgaben stelle ich mir immer die komplexe Ebene mit dem Einheitskreis vor, das hilft (zumindest mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

Nehmen wir mal die erste Aufgabe. Sei $\begin{eqnarray*} z= - 3= x+ iy\Rightarrow x= -3,\,\,y= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r= \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3 , \,\,cos(v) = \frac{x}{r} = \frac{-3}{3} = -1\Rightarrow v= arccos(-1)= \pi \Rightarrow z= 3e^{i \pi} \end{eqnarray*}$

Die anderen Aufgaben löst du ebenso.

Gruss yeti

27.01.2007, 15:48

chris85

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Hi Yeti,

Danke für deine Hilfe, das habe ich soweit verstanden, nur wie kommst du darauf: $\begin{eqnarray*} v= arccos(-1)= \pi \end{eqnarray*}$
Wie kommst du da auf $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?
Der Rest ist mir klar.

LG Chris

27.01.2007, 17:44

chris85

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Kann es sein dass es aufgrund dieser Regel ist:
$\begin{eqnarray*} arccos(-x) = \pi - arccos(x) \end{eqnarray*}$

Das heißt in meinem Fall:
$\begin{eqnarray*} arccos(-1) = \pi - arccos(1) = \pi - 0 = \pi \end{eqnarray*}$

Könnte mir bitte jemand Bescheid geben ob das richtig ist?

Danke

LG Chris

27.01.2007, 19:50

Calvin

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Es ist zwar richtig, was du hier schreibst, aber so kompliziert? Es ist einfach $\begin{eqnarray*} \arccos(-1)=\pi\hat{=}180^{\circ} \end{eqnarray*}$ Das kannst du mit dem Taschenrechner ausrechnen oder an der Zeichnung sehen.

Ich weiß nicht, wie man den arccos hier zeichnet, deshalb mache ich es am cosinus. Es ist $\begin{eqnarray*} \cos{\pi}=-1 \end{eqnarray*}$

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27.01.2007, 22:59

chris85

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Hi,
Gut, dann weiß ich jetzt auch wie es nicht so komplieziert geht smile

smile

Kann mir vllt noch jemand hierbei helfen?
Ich soll ja auch folgendes zeigen:
$\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} z = re^{iv} \end{eqnarray*}$
Ich weiß aber nicht wie.
Ich hab mir gedacht dass ich das so schreibe:
$\begin{eqnarray*} re^{iv} = r(cos(v)+i*sin(v)) \end{eqnarray*}$
Das ergibt sich ja aus der eulerschen Formel. Aber wie ich jetzt weitermachen könnte weiß ich auch nicht. Von dem her habe ich mir gedacht dass ich auf dem Holzweg mit meiner Idee gelandet bin.
Ich könnte eure Hilfe wirklich gebrauchen.

Lg Chris

27.01.2007, 23:16

yeti777

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Hi Chris!

Da wir die Euler'sche Formel nicht beweisen müssen, ist: $\begin{eqnarray*} z= x+ iy= rcos(v)+ irsin(v)= r(cos(v)+ isin(v)= re^{iv} \end{eqnarray*}$ . Du musst die Gleichung von rechts nach links lesen. Das zweite Gleichheitszeichen (von links) ergibt sich durch Vergleich von Real- und Imaginärteil. Kann man noch mehr beweisen? Ich weiss es nicht.

Beachte die Skizze im Anhang. Kein Beweis, aber immer wieder sehr anschaulich!

Gruss yeti

27.01.2007, 23:47

chris85

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Hi Yeti,
Danke erstmal, so ähnlich hab ich mir das auch gedacht.

Hab nochmal ne Frage zu der Berechnung der obigen Zahlen, hab jetzt selbst noch welche berechnet, kannst du dir das mal anschauen ob das stimmt?

Für die Zahl 4i :
$\begin{eqnarray*} z=4i=x+iy \rightarrow x=4 , y=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(v)= \frac{x}{r} = \frac{4}{\sqrt{17}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} arccos \frac{4}{\sqrt{17}} = 14,00 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow z= \sqrt{17} e^{14,00 i} \end{eqnarray*}$

Für die Zahl -5i :
$\begin{eqnarray*} z=4i=x+iy \rightarrow x=-5 , y=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(v)= \frac{x}{r} = \frac{-5}{\sqrt{26}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} arccos \frac{-5}{\sqrt{26}} = 168,70 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow z= \sqrt{26} e^{168,70 i} \end{eqnarray*}$

Stimmen meine Berechnungen?

Gruß Chris

28.01.2007, 13:10

yeti777

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Zitat:

Original von chris85
Hi Yeti,
Danke erstmal, so ähnlich hab ich mir das auch gedacht.

Hab nochmal ne Frage zu der Berechnung der obigen Zahlen, hab jetzt selbst noch welche berechnet, kannst du dir das mal anschauen ob das stimmt?

Für die Zahl 4i :
$\begin{eqnarray*} z=4i=x+iy \rightarrow x=4 , y=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(v)= \frac{x}{r} = \frac{4}{\sqrt{17}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} arccos \frac{4}{\sqrt{17}} = 14,00 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow z= \sqrt{17} e^{14,00 i} \end{eqnarray*}$

Gruß Chris

Hier klemmt es schon in der ersten Zeile! Es gilt:

$\begin{eqnarray*} z= x+ iy= 4i\Rightarrow x= 0,\,\,y= 4\Rightarrow r= \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} cos(v)= \frac{x}{r} = \frac{0}{4} = 0\Rightarrow v= \pi /2 \Rightarrow z= 4\,\,e^{i\pi /2} \end{eqnarray*}$

Halte dich einfach an die Definitionen. Versuche, die Zahlen in der komplexen Ebene einzuzeichnen (eine Skizze habe ich dir ja schon gemacht).

Gruss yeti

28.01.2007, 16:43

chris85

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Hi,
Die meisten Zahlen habe ich jetzt hinbekommen!
Ich hänge jetzt aer noch bei $\begin{eqnarray*} -e^{2i} , i e^{it} \ und\ (1+i)^{2007} \end{eqnarray*}$

Ich habe es so versucht für $\begin{eqnarray*} -e^{2i} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} z=x+iy \Rightarrow x=-e^{2i} , y=0 \Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(e^{2i})^2 + 0^2} = \sqrt{e^{4i}} = e^{\frac{{4i}}{2}} = e^{2i} \Rightarrow cos(v)= \frac{x}{r}= \frac{-e^{2i}}{e^{2i}}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v=arccos(-1)=180° = \pi \Rightarrow z=e^{2i} * e^{i \pi} = e^{3i \pi} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ,wie ich das gemacht habe?

Lg Chris

28.01.2007, 17:35

chris85

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Hi,

Das sind meine Ergebnisse für $\begin{eqnarray*} -ie^{it} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=x+iy \Rightarrow x=0 , y=e^{it} \Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(0^2 + (e^{it})^2} = \sqrt{e^{2it}} = e^{\frac{{2it}}{2}} = e^{it} \Rightarrow cos(v)= \frac{x}{r}= \frac{{0}}{e^{it}}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v=arccos(0)=90° = \frac{\pi}{2} \Rightarrow z=e^{it} * e^{i \frac{\pi}{2}} = e^{2it \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} (1+i)^{2007} \end{eqnarray*}$ ,das habe ich dann folgendermaßen geschrieben:
$\begin{eqnarray*} 1+2700i+i^{2007} = 1+2007i -1 = 2007i \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \ und \ -1^{2005} =-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=x+iy \Rightarrow x=0 , y=2007 \Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(0^2 + 2007^2} = 2007 \Rightarrow cos(v)= \frac{x}{r}= \frac{{0}}{2007}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v=arccos(0)=90° = \frac{\pi}{2} \Rightarrow z=2007 * e^{i \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig wie ich das gemacht habe?

Gruß Chris

28.01.2007, 17:44

derkoch

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Zitat:

Original von chris85
und für $\begin{eqnarray*} (1+i)^{2007} \end{eqnarray*}$ ,das habe ich dann folgendermaßen geschrieben:
$\begin{eqnarray*} 1+2700i+i^{2007} = 1+2007i -1 = 2007i \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \ und \ -1^{2005} =-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=x+iy \Rightarrow x=0 , y=2007 \Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(0^2 + 2007^2} = 2007 \Rightarrow cos(v)= \frac{x}{r}= \frac{{0}}{2007}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v=arccos(0)=90° = \frac{\pi}{2} \Rightarrow z=2007 * e^{i \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig wie ich das gemacht habe?Gruß Chris

absoluter Holzweg!

wandle die komplexe zahl zunächst in Polarform um---->

eine in polarform vorliegende komplexe zahl wird in die n-te potenz erhoben, indem man den betrag in die n-te potenz erhebt und das argument ( winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) mit dem exponenten multipliziert!

28.01.2007, 18:11

chris85

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Hey Koch,

So ganz hab ich das glaube nicht verstanden.
Doch meinst du vllt so?

$\begin{eqnarray*} z=x+iy \Rightarrow x=1 , y=1 \Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \Rightarrow cos(2007*v)=\frac{x}{r} \Rightarrow cos(v)= \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2007} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v=arccos(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2007})=90,00° = \frac{\pi}{2} \Rightarrow z= \sqrt{2} * e^{i \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich kann mir aber fast nicht vorstellen dass das so richtig ist. Könntest du mir das bitte erklären?

Lg Chris

28.01.2007, 18:18

derkoch

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$\begin{eqnarray*} z^n=[r(cos\gamma+jsin\gamma)]^n= r^n[cos(n\gamma)+sin(n\gamma)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^n= [r\cdot e^{j\gamma}]^n= r^n \cdot e^{n\cdot j\cdot \gamma} \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 18:59

chris85

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$\begin{eqnarray*} (1+i)^{2007}=[r(cos(v)+i sin(v))]^{2007} = r^{2007}[cos(2007v))+sin(2007v)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+i)^{2007}= [r\cdot e^{iv}]^{2007}= r^{2007} \cdot e^{2007\cdot i\cdot v} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 , y=1 , r= \sqrt{x^2 +y^2} = \sqrt{2} , v=arccos(\frac{x}{r})= \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z= \sqrt{2}^{2007} \cdot e^{2007 \cdot i \cdot \frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

So richtig? Oder hab ich noch was falsch gemacht?

Gruß Chris

28.01.2007, 19:48

fr1

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stimmt das denn so??? irgendwie sieht das nicht gut aus oder?

28.01.2007, 19:55

Calvin

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Ja, passt alles. Du könntest den Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{2007\pi}{4} \end{eqnarray*}$ noch in das Intervall $\begin{eqnarray*} [0;2\pi] \end{eqnarray*}$ bringen.

28.01.2007, 20:21

chris85

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Hey Calvin,

Wie meinst du das mit dem in das Intervall bringen? Wie geht das? Würd mich jetzt auch noch so interessieren.

Könntest du bitte noch schnell schauen ob meine anderen Berechnungen korrekt sind?

Lg Chris

28.01.2007, 20:30

Calvin

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Welche anderen Berechnungen meinst du? Die aus deinem letzten Posting sind alle richtig. Die von der letzten Seite habe ich nicht angesehen, weil da schon andere etwas dazu gesagt haben.

Zum Winkel: die e-Funktion ist im komplexen $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch, d.h. $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=e^{i\varphi+k2\pi} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Du musst jetzt also das passende k und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ finden, wobei $\begin{eqnarray*} \varphi\in [0;2\pi] \end{eqnarray*}$ sein soll.

Das macht man, damit man eine bessere Vorstellung davon hat, wie die Zahl in der komplexen Zahlenebene liegt.

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