Satz von Stokes : Unklare Schreibweise

22.05.2012, 14:55

michaaa

Satz von Stokes : Unklare Schreibweise

Guten Tag,

ich hätte mal wieder eine Frage :

Ich soll mit Hilfe von Stokes ein Integral berechnen :

$\begin{eqnarray*} \int_K\! (\frac{x^3}{3} * dy - \frac{y^3}{3} * dx) \ \end{eqnarray*}$

Die Kurve ist ein Dreieck mit den Punkten A(0,0) , B(1,0) und C(1,1)

Ich hätte gedacht man kann das dxdy aus der Klammer rausziehen,
sodass dann da steht :

$\begin{eqnarray*} (\frac{x^3}{3 dx} - \frac{y^3}{3 dy} )* dxdy \end{eqnarray*}$

Demzufolge müsste man die Terme jeweils ableiten und könnte dann
das Integral lösen : X -> 0 bis 1 und Y -> 0 bis X

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^x \! (x² - y²) \,dxdy = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig oder bin ich auf dem Holzweg ?

MfG
Michael

22.05.2012, 15:14

Leopold

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Das mit dem "Rausziehen" von $\begin{eqnarray*} \dd x \dd y \end{eqnarray*}$ ist sehr phantasievoll, entspricht aber nicht dem Kalkül, ob du den Stokesschen Satz nun im Rahmen von Differentialformen oder klassischer Vektoranalysis kennengelernt hast. Halte dich an die Konzepte deiner Vorlesung. Bei richtiger Lösung kommt so etwas Ähnliches wie bei dir heraus. Allerdings ist da noch ein Vorzeichenfehler und ein Variablendreher drin.

22.05.2012, 15:32

michaaa

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Das (f(x)*dy - f(y)*dx) hatten wir in der Vorlesung nicht.
Da haben wir nur mit Vektoren gerechnet, deshalb ist diese Schreibweise
auch für mich unbekannt. Mir fehlt da der Zusammenhang.

Wo allerdings der Vorzeichenfehler und der Variablendreher sein sollen, weiß
ich leider nicht.

22.05.2012, 15:53

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \omega = \frac{1}{3} x^3 ~ \dd y - \frac{1}{3} y^3 ~ \dd x \end{eqnarray*}$

ist eine sogenannte Differentialform. Vielleicht kennst du das in der Schreibweise eines formalen Skalarprodukts:

$\begin{eqnarray*} \omega = \underbrace{\begin{pmatrix} - \frac{1}{3} y^3 \\ \frac{1}{3} x^3 \end{pmatrix}}_{\vec{r}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \end{pmatrix}}_{\dd \vec{r}} \end{eqnarray*}$

22.05.2012, 19:32

michaaa

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Ich habe nochmal bissel in unserer Formelsammlung geblättert und habe nen
neuen Ansatz, allerdings weiß ich auch nicht ob dieser richtig ist.

rot $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x²-y² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} -y³/3 \\ x³/3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun brauche ich ja noch d $\begin{eqnarray*} \vec{f} \end{eqnarray*}$ und das ist ja im Kartesischen
Koordinatensystem :

d $\begin{eqnarray*} \vec{f}=\vec{r_{x}} x \vec{r_{y}}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -y²x² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einsetzen und gut :

$\begin{eqnarray*} \int_{x=0}^1 \! \int_{y=0}^x \! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x²-y² \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -y²x² \end{pmatrix} \ dxdy = \int_{x=0}^1 \left[-(x^4y³)/3+(y^5x²)/5 \right]_{0}^{x} dx = \left[-x^8/60\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{60} \end{eqnarray*}$

wie siehts jetzt aus ?

22.05.2012, 20:00

Leopold

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Wir sind hier im Zweidimensionalen. Da passen deine Formeln nicht.

$\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ sei das Dreieck und $\begin{eqnarray*} K = \partial \Delta \end{eqnarray*}$ sein positiv orientierter Rand. Nach Stokes gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_K \omega = \int_{\partial \Delta} \omega = \int_{\Delta} \dd \omega \end{eqnarray*}$

In der Sprache der Vektoranalysis lautet, wenn $\begin{eqnarray*} u = u(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = v(x,y) \end{eqnarray*}$ die Komponentenfunktionen von $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ sind, die Formel so:

$\begin{eqnarray*} \int_K \vec{r} ~ \dd \vec{r} = \int_{\Delta} \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) ~ \dd (x,y) \end{eqnarray*}$

Jetzt rechne erst einmal den Integranden richtig aus. Und wenn du bei der Integration über $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ zuerst über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und dann über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrierst, dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^x \ldots ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$

die richtige Variablenreihenfolge.

22.05.2012, 21:50

michaaa

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Zitat:

Original von Leopold
...
In der Sprache der Vektoranalysis lautet, wenn $\begin{eqnarray*} u = u(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = v(x,y) \end{eqnarray*}$ die Komponentenfunktionen von $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ sind, die Formel so:

$\begin{eqnarray*} \int_K \vec{r} ~ \dd \vec{r} = \int_{\Delta} \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) ~ \dd (x,y) \end{eqnarray*}$
...

Dieser Zusammenhang entsteht durch rot $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u(x,y,z) \\ v(x,y,z) \\ w(x,y,z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und "weil dz=0 ist", werden die entsprechenden Komponenten "weggelassen" ?

$\begin{eqnarray*} \int_K \vec{r} ~ \dd \vec{r} = \int_{\Delta} \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) ~ \dd (x,y) = \int_{\Delta} \! (x²+y²) \, d(x,y) = \int_0^1 \int_0^x \! (x²+y²) dydx = \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$

so richtig ?

Da stellt sich mir aber die Frage warum wird d $\begin{eqnarray*} \vec{f} \end{eqnarray*}$ in diesem Fall nicht beachtet(oder doch?) ? Weil wir in diesem Fall nur 2 dimensional arbeiten ? In unseren sonstigen Beispielen haben wir immer in R³ gearbeitet, sodass wir dann noch d $\begin{eqnarray*} \vec{f} \end{eqnarray*}$ bestimmen mussten. Das verstehe ich noch nicht so ganz.

23.05.2012, 08:24

Ehos

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@Michaa
Ich zeige dir mal, wie man den bekannten Stokeschen Satz vom 3D-Raum auf den 2D-Raum spezialisiert. Im 3D-Raum lautet der Stokesche Satz bekanntlich

$\begin{eqnarray*} \oint_{\text{Rand}} \! \underbrace{\vec F(\vec x) \, d\vec x}_{\text{Skalarprodukt}}= \int \int_{\text{Fläche}}\! \underbrace{rot(\vec F)\,d\vec A}_{\text{Skalarprodukt}} \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \vec F=(F_1|F_2|F_3) \end{eqnarray*}$ ein Vektorfeld, das auf der Fläche $\begin{eqnarray*} \vec A \end{eqnarray*}$ mit der Randkurve $\begin{eqnarray*} \vec x(t) \end{eqnarray*}$ definiert ist. Liegt diese Fläche und damit die Randkurve innerhalb der 12-Fläche, gilt für die Randkurve $\begin{eqnarray*} \vec x=(x_1|x_2|0) \end{eqnarray*}$ . Da das Flächenelement $\begin{eqnarray*} d\vec A \end{eqnarray*}$ laut Definition ein Vektor ist, der senkrecht auf der Fläche steht und dessen Betrag der Flächeninhalt dieses Elementes ist, lautet es in diesem Falle $\begin{eqnarray*} d\vec A=(0|0|1)dx_1dx_2 \end{eqnarray*}$ . Damit wird aus dem obigen Stokeschen Satz

$\begin{eqnarray*} \oint_{\text{Rand}} \! \underbrace{(F_1|F_2|F_1) \cdot (dx_1|dx_2|0)}_{\text{Skalarprodukt}}= \int \int_{\text{Fläche}}\! \underbrace{rot(F_1|F_2|F_3)\cdot (0|0|1)}_{\text{Skalarprodukt}}\,dx_1dx_2 \end{eqnarray*}$ .

Ausmultiplizieren beider Skalarprodukte ergibt den sog. "Stokeschen Satz in der Ebene" bzw. die "Formel von Green"

$\begin{eqnarray*} \oint_{\text{Rand}} \! F_1dx_1+F_2dx_2= \int \int_{\text{Fläche}}\! (\tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial F_1}{\partial x_2}) \,dx_1dx_2 \end{eqnarray*}$

In deiner Aufgabe lautet das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} (F_1|F_2)=(-\tfrac{1}{3}x_2^3|\tfrac{1}{3}x_1^3) \end{eqnarray*}$ , woraus folgt $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial F_1}{\partial x_2}=x_1^2+x_2^2 \end{eqnarray*}$ . Berechne damit der Einfachheit halber nicht das Kurvenintegral, sondern das Flächenintegral auf der rechten Seite, also

$\begin{eqnarray*} \int \int_{\text{Dreieck}}\! (x_1^2+x_2^2) \,\,dx_1dx_2=\int_0^1 \left ( \int_{x_2}^1\! (x_1^2+x_2^2) \,\,dx_1 \right ) dx_2=... \end{eqnarray*}$

23.05.2012, 10:38

michaaa

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$\begin{eqnarray*} \int \int_{\text{Dreieck}}\! (x_1^2+x_2^2) \,\,dx_1dx_2=\int_0^1 \left ( \int_{x_2}^1\! (x_1^2+x_2^2) \,\,dx_1 \right ) dx_2=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

dies ist doch aber auch gleich dem :

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \left ( \int_{0}^x\! (x^2+x^2) \,\,dy \right ) dx \end{eqnarray*}$

Ob ich nun x von y abhängig mache oder andersrum ist egal oder ?

Hatte mich verrechnet ... 1/3 +1 ist natürlich 4/3 und nichts anderes.

Super. Danke für die Hilfe smile

23.05.2012, 10:49

Ehos

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Ja, die Reihenfolge der Integration ist egal, wenn man die Grenzen so wählt wie du. Ich habe das Ergebnis aber nicht nachgerechnet.

23.05.2012, 15:22

michaaa

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Muss nochmal ne Frage stellen, wenn ich mir die nächste Aufgabe anschaue :

$\begin{eqnarray*} \oint_K \![(x*e^x + sin y) dx + (sin² y+ x cos y)dy] \, \end{eqnarray*}$

K: x= a cos³ t , y= a sin³ t , $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 2\pi \end{eqnarray*}$

Wie fange ich bei dieser Aufgabe an ? Ich habe die gleiche Vorgehensweise
wie oben probiert (Formel von Green). Da kommt aber 0 raus, was ich
bezweifel. Hat jemand eine Idee ?

23.05.2012, 17:00

Leopold

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Zitat:

Original von michaaa
Da kommt aber 0 raus, was ich bezweifel.

Die Zweifel ehren dich. Aber mit Green bekommt man tatsächlich 0 als Integranden. Wenn du schon von der Exaktheit von Differentialformen (oder der Konservativität von Vektorfeldern, wie es, glaube ich, bei den Physikern heißt) gehört hast, erstaunt das auch nicht. Denn es gibt eine Funktion $\begin{eqnarray*} F = F(x,y) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x} = u(x,y) \, , \ \ \frac{\partial F}{\partial y} = v(x,y) \end{eqnarray*}$

wobei mit $\begin{eqnarray*} u(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x,y) \end{eqnarray*}$ wieder die Komponenten der Differentialform, also die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} \vec{r}(x,y) \end{eqnarray*}$ gemeint sind. Du kannst ja einmal probieren, dieses $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

25.05.2012, 18:22

michaaa

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Mit Hilfe habe ich das F rausbekommen und wie gehe ich jetzt weiter vor ?
Vorallem was mache ich mit x(t) und y(t)?

$\begin{eqnarray*} F = x*sin y+e^{x}*(x-1)+\frac{y}{2} -\frac{sin y*cos y}{2} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich x(t) für x einsetze und y(t) für y, muss doch eigentlich 0 rauskommen
oder ? Wegen den 0 bis 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ von den cos/sin t .. hätte ich jetzt
gedacht.

25.05.2012, 18:29

Leopold

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Wenn wie hier eine solche Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ existiert, kann man einfach

$\begin{eqnarray*} \int_K \vec{r} ~ \dd \vec{r} = F(\text{Endpunkt}) - F(\text{Anfangspunkt}) \end{eqnarray*}$

rechnen. Bei einem Kreis sind aber Endpunkt und Anfangspunkt gleich, also ergibt sich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Für geschlossene Kurven ergibt sich in dieser Situation immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

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