Banachraum - Vektorraum der stetigen beschränkten Funktionen |
| 22.05.2012, 19:10 | Gast167 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Banachraum - Vektorraum der stetigen beschränkten Funktionen ich habe ein kleines Verständnisproblem auf das ich bei einem Beweis in der Literatur gestoßen bin und hoffe, dass man mir dabei evtl helfen könnte. Also: Man betrachte den Vektorraum Cb( U, R^m ) aller beschränkten stetigen Funktionen f: U -> R^m auf einer Teilmenge U von R^k, versehen mit der Supremumsnorm || f || = sup( || f(x) || : x e U ). Nun geht es um die Vollständigkeit und die Aussage: Eine Cauchyfolge bzgl dieser Norm konvergiert gleichmäßig auf U. Eine Funktionenfolge konvergiert ja glm. genau dann wenn lim || f (x) - fn (x) || = 0 ist. Ich habe ja nun, dass || f m (x) - f k (x) || < c für beliebes c größer als 0 und für alle m, k >= i für hinreichend großes i. Nun sieht man die Aussage ja an sich durch Grenzübergang m geht gegen unendlich, aber darf man das einfach so? Oder kann man das formaler zeigen, ich scheitere daran nämlich gerade... Würde mich sehr über Hilfe freuen 
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| 22.05.2012, 21:19 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Banachraum - Vektorraum der stetigen beschränkten Funktionen Schaue dir noch einmal an, was genau gleichmäßige Konvergenz bedeutet. Deine Konvergenzdefinition ist die der punktweisen Konvergenz. Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass sodass für alle und für alle Letzteres (also der Fakt, dass das N unabhängig von x ist) ist die Gleichmäßigkeit der Konvergenz. Das heißt du hast hier eigentlich zwei Aussagen: a) Jede Cauchyfolge konvergiert. b) Die Konvergenz ist gleichmäßig (in x). Was du jetzt angehen möchtest, ist Teil a). Da darfst du leider nicht einfach m gegen Unendlich gehen lassen und sagen: Ja gut, das muss wohl stimmen. Das ist die Crux: Nur, weil du eine Cauchy-Folge hast, muss das nicht heißen, dass f(x) (die Grenzfunktion) in deinem Raum existiert. Die Grundidee ist vielmehr, dass du eben zeigst, dass so ein f in deiner Menge existiert. Das heißt: Du überlegst dir, wie du sinnvollerweise dieses Grenzelement definierst (Tipp: IR ist vollständig, ist auch für jedes eine Cauchyfolge (warum?), damit kann man den Grenzwert punktweise definieren). Dann zeigst du, dass das Grenzelement stetig und beschränkt ist und dass es sich wirklich um das Grenzelement in der Sup-Norm handelt. Schließlich zeigst du b). Gruß MI |
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