Beweis einer Äquivalenz der Mengenlehre (A C B) <=> (B' C A')

22.05.2012, 20:07

Christian_P

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Beweis einer Äquivalenz der Mengenlehre (A C B) <=> (B' C A')

zu beweisen $\begin{eqnarray*} (A\subset B) \; \Leftrightarrow \; (\overline{B} \subset \overline{A}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ sei die Grundmenge.

Ich beginne von der rechten Seite.

$\begin{eqnarray*} (\overline{B} \subset \overline{A}) \; \Leftrightarrow\; ((x \in \overline{B}) \Rightarrow (x \in \overline{A})) \; \Leftrightarrow\; (((x\in I)\wedge (x \notin B)) \Rightarrow ((x\in I)\wedge (x \notin A))) \; \Leftrightarrow\; \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \; \Leftrightarrow\; ((\underbrace{(x\in I)}_{1}\wedge \neg(x \in B)) \Rightarrow (\underbrace{(x\in I)}_{1}\wedge \neg(x \in A))) \; \Leftrightarrow\; (\neg(x \in B) \Rightarrow \neg(x \in A)) \; \Leftrightarrow\; \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \; \Leftrightarrow\; ((x \in A) \Rightarrow (x \in B)) \; \Leftrightarrow\; (A\subset B) \qquad \text{q.e.d} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

23.05.2012, 21:44

weisbrot

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RE: Beweis einer Äauivalenz der Mengenlehre (A C B) <=> (B' C A')
ja von mir aus smile

smile

lg

24.05.2012, 10:58

Christian_P

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Hi weisbrot smile

smile

Naja wenn du sagst "von mir aus", dann wirds schon ok sein.

erstmal danke, dass dus dir angeguckt hast!

Ich habe mir das son bisschen selbst ausgedacht, und habs so gemacht:

ich hab die Definitionen der jeweiligen Mengenoperaitionen angewendet und immer wenn eine "immer wahre" Aussage oder "immer falsche" Aussage aufgetreten ist, hab ich durch regeln der Booleschen Alggebra vereinfachen können. Diese Regeln konnte ich auch durch Wahrheitstafeln nachprüfen.

Es ist mir aufgefallen, dass es viel leichter ist, von einer bestimmten Seite des zu beweisenden Satzes anzufangen und dann sioch zum anderen Ende durchzuarbeiten. Wenn mans andersherum macht kommt man zum teil gar micht auf die richtigen Umformungen, da man zum teil was "dazudichten" muss.

naja

Grüße.

24.05.2012, 11:06

Math1986

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Es ist prinzipell richtig, ich fände es aber übersichtlicher wenn du Hin- und Rückrichtung separat zeigst.

24.05.2012, 11:17

Mystic

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Wenn ich mir hier nur eine allgemeine Bemerkung erlauben darf: Ich finde es prinzipiell problematisch, Trivialitäten - denn um eine solche handelt es sich hier - endlos auszuwalzen... M.E. genügt doch einfach der Hinweis, dass das logische Prinzip der Kontraposition, also die Tautologie

$\begin{eqnarray*} (p \rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \rightarrow \neg p) \end{eqnarray*}$

dahintersteckt, alles andere ist hier definitiv schon "zuviel des Guten"... Ist aber jetzt nur meine persönliche Meinung dazu... Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.05.2012, 17:46

weisbrot

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@Christian_P: das ist natürlich ein absolut korrekter beweis. ich habe meine "antwort" so gewählt weil du keine frage, bis auf das " verwirrt

verwirrt

", gestellt hast.
zu dem was du noch geschrieben hast: die vorgehensweise ist total richtig, und sogar sehr genau. dass es manchmal zum beweisen von äquivalenzen bzw. identitäten leichter ist "von einer bst." seite anzufangen ist doch sehr natürlich - also zumindest sollte es dir bekannt sein aus der arithmetik: es ist doch leichter etwas auszumultiplizieren als zu faktorisieren - hier ist das ähnlich.

@Math1986: naja, lässt sich drüber streiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Mystic: das hängt natürlich davon ab unter welchem gesichtspunkt, also zu welchem zweck diese aufgabe bearbeitet wurde - das sollte sicherlich offensichtlich sein wenn man viel damit arbeitet, aber zum lernen sollte man sich erstmal klar machen warum es offensichtlich ist - und dazu sollte man m. m. nach mindestens einmal einen ähnlichen beweis selbst in aller ausführlichkeit (also mit allem was noch nicht offensichtlich ist) selbst führen.

lg

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24.05.2012, 18:22

Mystic

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Zitat:

Original von weisbrot
@Mystic: das hängt natürlich davon ab unter welchem gesichtspunkt, also zu welchem zweck diese aufgabe bearbeitet wurde - das sollte sicherlich offensichtlich sein wenn man viel damit arbeitet, aber zum lernen sollte man sich erstmal klar machen warum es offensichtlich ist - und dazu sollte man m. m. nach mindestens einmal einen ähnlichen beweis selbst in aller ausführlichkeit (also mit allem was noch nicht offensichtlich ist) selbst führen.

Ich will hier jetzt gar nicht thematisieren, inwieweit obige Behauptung jetzt "offensichtlich" ist oder nicht, sondern was ich meinte war einfach, dass ein zu starkes Formalisierung (bis in die letzte Verästelung hinein!) die wesentlichen Dinge zudeckt... Hier würde es, wie gesagt, genügen, auf das Kontrapositionsgesetz der Logik, das zu den grundsätzlichen Beweistechniken der Mathematik gehört und daher soweoso unabdingbar ist, zu verweisen, eventuell noch mit Hinweis, wie die Aussagen p und q für diesen Fall aussehen... Alles andere stiftet IMHO mehr Schaden als Nutzen und man macht sich damit nur selbst das (mathematische) Leben schwer... Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.05.2012, 18:37

weisbrot

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@Mystic: ja ich denke ich verstehe schon was du meinst, und der meinung bin ich u. u. auch; aber du kannst doch nicht sagen dass es nicht (zumindest) für lernzwecke (zumindest) wichtig ist einen derartigen beweis formal korrekt zu führen.
lg

24.05.2012, 18:49

Christian_P

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Nicht, dass ihr hier ins Streiten kommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dies war keine Übungsaufgabe. Wir sind in den ersten Wochen sehr schnell über das Thema Mengenlehre und Mengenbeweise hinweggegangen. So hat, wie ich nur vermuten kann, so gut wie überhaupt keiner von uns Anfängern richtige Ahnung von diesem Beweisen.

Mich hat es geärgert, dass es mit solchen Beweisen bei mir erst gar nicht ging, als ich es mal selbst probiert hatte. Bis ich dann auf die wunderbare Erkenntnis gekommen bin, dass ich ja nur die Definitionen kennen und strickt anwenden muss. So schien es auf einmal relativ einfach zu sein. $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ und so sind ja auch ähnlich und man kanns sich gut merken.

Bei diesen Beweisen von "Trivialitäten" wie z.B. $\begin{eqnarray*} A \cap \overline{A} =\emptyset \end{eqnarray*}$ kommt man dann nachher, wenn man von rechts nach links durchgeht, nur noch auf den Wahrheitswert "falsch" und den muss man dann als $\begin{eqnarray*} x\in \emptyset \end{eqnarray*}$ interpretieren, oder so ähnlich. Das ist dann schon irgendwie ein bisschen seltsam und ungewohnt.

Grüße

24.05.2012, 19:11

Mystic

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Wie ich schon sagte, geht es hier primär um Gesetze der Aussagenlogik, d.h., um richtiges logisches Schließen, mit Mengenlehre hat das alles nur am Rande zu tun... M.a.W. geht es bei den meisten Beweisen für ein Gesetz der Mengenlehre einfach darum, die dahinterliegende logische Schlußregel anzuwenden... Bei $\begin{eqnarray*} A \cap \bar{A} = \emptyset \end{eqnarray*}$ wäre das einfach die Regel, das $\begin{eqnarray*} p \land \neg p \end{eqnarray*}$ stets falsch ist, egal was $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ für einen Wahrheitswert hat...

24.05.2012, 19:31

Christian_P

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Hi, ja.

$\begin{eqnarray*} x\in (A\cap \overline{A}) \Leftrightarrow (x\in A \wedge x\in \overline{A}) \Leftrightarrow ((x\in A) \wedge (x\notin A)\wedge (x\in I)) \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow ((x\in A) \wedge \neg(x\in A)\wedge (x\in I)) \Leftrightarrow ((x\in A) \wedge \neg(x\in A)) \Leftrightarrow 0 \Leftrightarrow x\in \emptyset \end{eqnarray*}$

micht stört das Ende mit der 0 als "falsch" und dann $\begin{eqnarray*} 0 \Leftrightarrow x\in \emptyset \end{eqnarray*}$ aber, weil da muss ich ja hin.
für beliebige Aussagen p und q gilt doch: $\begin{eqnarray*} p \wedge \neg p \Leftrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ bzw. auf Wikipedia stehts als $\begin{eqnarray*} p \wedge \neg p = 0 \end{eqnarray*}$

24.05.2012, 20:12

weisbrot

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naja du solltest eher daraus schließen dass es kein x element A n -A gibt. denn die gleichheit der elemente zu zeigen ergibt wenig sinn, da die leere menge ja keine hat. lg

ps: bei etwaigen frage steht dir sicher noch mystic zur verfügung, bin jetzt erstmal weg. bis denn

24.05.2012, 20:25

Christian_P

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ahh ja

ich versuchs nochmal

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} A\cap\overline{A}=\emptyset \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} x\notin A\cap\overline{A} \end{eqnarray*}$ . Ich nehme nun das Gegenteil an. Es sei also $\begin{eqnarray*} x\in A\cap\overline{A} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x\in (A\cap \overline{A}) \Rightarrow (x\in A \wedge x\in \overline{A}) \Rightarrow ((x\in A) \wedge (x\notin A)\wedge (x\in I)) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ((x\in A) \wedge \neg(x\in A)\wedge (x\in I)) \Rightarrow ((x\in A) \wedge \neg(x\in A)) \end{eqnarray*}$ womit wir einen Widerspruch haben.

Also muss $\begin{eqnarray*} x\notin A\cap\overline{A} \end{eqnarray*}$ richtig sein und offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} x\notin \emptyset \end{eqnarray*}$ womit die Aussage bewiesen ist. hmmm verwirrt

verwirrt

24.05.2012, 22:51

Mystic

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Es ist wahrscheinlich zu einem guten Teil Geschmackssache, aber ich würde lieber folgendermaßen argumentieren:

$\begin{eqnarray*} \emptyset \subseteq M \end{eqnarray*}$ gilt ja für alle Mengen M (wieder liegt dem eine logische Schlussregel, nämlich das "ex falso quodlibet" zugrunde, d.h., wenn die Prämisse p falsch ist, dann ist $\begin{eqnarray*} p \to q \end{eqnarray*}$ stets wahr!)... Es bleibt somit nur $\begin{eqnarray*} A \cap \bar A \subseteq \emptyset \end{eqnarray*}$ zu zeigen, und das gilt wieder, da die Prämisse für den entsprechenden Schluss stets falsch ist...

25.05.2012, 07:05

Christian_P

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wow! Das ist schon genial. Und vor allem recht schlank aurgumentiert. Toll!

ex falso quodlibet kling lustig smile

smile

genau wie der Sylogismus Barbara smile

smile

Meine letzter Widerspruchsbeweis wäre auch in Ordnung?

einen lieben Gruß

25.05.2012, 08:29

Mystic

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Zitat:

Original von Christian_P
Meine letzter Widerspruchsbeweis wäre auch in Ordnung?

"In Ordnung" im Sinne von "korrekt" ja, ansonsten gilt aber wieder das, was ich oben schon gesagt habe... Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2012, 14:45

Christian_P

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Schön

smile

Ja, über den Sinn dieses Beweises kann man natürlich streiten, da würde ich nicht widersprechen.

lg

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