Integralumparametrisierung

23.05.2012, 09:37	balu324	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralumparametrisierung Meine Frage: $\begin{eqnarray} <br /> <U>=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}U(t)dt<br /> \end{eqnarray}$ Ich habe die Funktion U aber nicht in abhängigkeit der Zeit gegeben sondern als Funktion eines Winkels. $\begin{eqnarray} <br /> U(\varphi)=-\frac{\beta}{r}<br /> \end{eqnarray}$ z.b. r im Keplerproblem $\begin{eqnarray} <br /> r(\varphi)=\frac{p}{1+\epsilon\cos(\varphi)}<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich kann nun die Drehimpulserhaltung verwenden um das Integral auf eine Form nach $\begin{eqnarray} d\varphi \end{eqnarray}$ zu bringen. Das wäre dann: $\begin{eqnarray} <br /> <U>=-\lim_{\tau\to \infty}\frac{1}{\tau}\int_x^{y}\frac{m\alpha}{l}r d\varphi<br /> \end{eqnarray}$ Was ist nun mit x,y . Wie muss ich die vorgeben das das Integral wieder passt.
23.05.2012, 10:47	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Wohl eher $\begin{eqnarray} <U>=-\lim_{y\to \infty}\frac{1}{y-x}\int_x^{y}\frac{m\alpha}{l}r d\varphi \end{eqnarray}$ Du verrätst uns zu wenig über die Aufgabe, als dass dir hinreichend geholfen werden könnte. Offenbar steckst du in deine Umformung Informationen, die wir zur Verifikation nicht haben. Z.B. weiß ich nicht, was U(t) sein soll. <U> scheint mir der Durchschnittswert von U im Intervall $\begin{eqnarray} [0,\tau] \end{eqnarray}$ zu sein.
23.05.2012, 10:51	balu324	Auf diesen Beitrag antworten »
U(t) ist keine Näher spezifizierte Funktion ich habe damit nur allgemein ausgedrückt wie man den Mittelwert <U> einer Funktion berechnet, welche von der Zeit t abhängig ist. Die Umformung bezüglich Drehimpulserhaltung ist: $\begin{eqnarray} <br /> l=mr^2\dot{\varphi}<br /> \end{eqnarray}$ wobei l natürlich eine Konstante ist.
23.05.2012, 11:33	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmhh ... das ist nicht der Erhaltungssatz des Drehimpulses, sondern die Definition des Drehimpulses im eindimensionalen Fall. Für dein Problem benötigst du die Abhängigkeit des Winkels von der Zeit, also $\begin{eqnarray} \varphi(t) \end{eqnarray}$ (z.B.im Falle des Keplerproblems). In diesem Falle kannst du dann direkt integrieren, weil du dann schon eine geeignete Parametrisierung hast. Falls du wirklich umparametrisieren willst, wählst du die Substitution $\begin{eqnarray} t:=t(\varphi) \end{eqnarray}$ . Der Erhaltungssatz des Drehimpulses lautet. "Der lineare Drehimpuls bleibt erhalten, wenn auf das bezogene System kein Drehmoment wirkt."

1

Verwandte Themen