Gleiche Mengen

23.05.2012, 09:06	~Matti~	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleiche Mengen Hallo, sei folgende Menge M definiert: $\begin{eqnarray} M:=\{y \in \mathbb R^n\ \|\ x^Ty\ \geq 0\ \forall x \in \mathbb{R}^n_+ \} \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} M = \mathbb{R}^n_+ \end{eqnarray}$ Also ich muss zeigen dass jedes $\begin{eqnarray} y \in M \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n_+ \end{eqnarray}$ liegt und umgekehrt ?! Wie geht das? Vielen Dank & Gruß! Matti
23.05.2012, 11:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb R_+^n \subseteq M \end{eqnarray}$ sollte eigentlich klar sein. Versuche das also als erstes zu zeigen. Bei der anderen Inklusion nimmst du dir einen Vektor y, der mind. einen negativen Eintrag hat und zeigst, dass y nicht in M liegt.
23.05.2012, 12:40	~Matti~	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also die eine Inklusion $\begin{eqnarray} \mathbb R_+^n \subseteq M \end{eqnarray}$ konnte ich wie folgt beweisen: Seien $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R_+^n \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} x^T y =\begin{pmatrix}<br /> x_1 & \cdots & x_n <br /> \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}<br /> y_1\\ \vdots <br /> \\ y_n<br /> <br /> \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n x_i y_i\geq 0, \end{eqnarray}$ weil alle $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ größer gleich Null sind, also sind alle Produkte $\begin{eqnarray} x_iy_i \end{eqnarray}$ größer gleich Null und daher auch die gesamte Summe. Bei der anderen Inklusion hänge ich aber noch: Sei $\begin{eqnarray} y \in M \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} y \in \mathbb R_+^n \end{eqnarray}$ . Angenommen $\begin{eqnarray} y \notin \mathbb R_+^n \end{eqnarray}$ . Sei o.B.d.A. $\begin{eqnarray} y=\begin{pmatrix} y_1\\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y_1 \leq 0 \end{eqnarray}$ und alle anderen Komponenten positiv. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ liegt, d.h., dass es ein $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R_+^n \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} x^T y <0 \end{eqnarray}$ gilt. Aber es ist $\begin{eqnarray} x^T y =\begin{pmatrix}<br /> x_1 & \cdots & x_n <br /> \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}<br /> y_1\\ \vdots <br /> \\ y_n<br /> \end{pmatrix} = x_1y_1+\sum_{i=2}^n x_i y_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_1 y_1 \leq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{i=2}^n x_i y_i \geq 0 \end{eqnarray}$ . Da kann ich aber nicht schlussfolgern dass das insgesamt kleiner gleich null ist. Wie geht es also weiter? LG, matti
23.05.2012, 13:10	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle x geschickt, am besten so, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=2}^n x_iy_i \end{eqnarray}$ wegfällt... Man muss hier übrigens entweder in der Definition der Menge ein echt größer setzen oder die 0 als Eintrag eines Vektors in $\begin{eqnarray} \mathbb R^n_+ \end{eqnarray}$ zulassen. Sonst ist die Aussage falsch.
23.05.2012, 13:32	~Matti~	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich darf verwenden, dass $\begin{eqnarray} (0,...,0) \in \mathbb R^n_+ \end{eqnarray}$ ist. Dann wähle ich $\begin{eqnarray} x:=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} \in \mathbb R^n_+ \end{eqnarray}$ und ich wähle $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} y_1 < 0 \end{eqnarray}$ (nicht wie im vorherigen Beitrag $\begin{eqnarray} y_1 \leq 0 \end{eqnarray}$ ). Dann gilt: $\begin{eqnarray} x^T y = x_1 y_1 = y_1 < 0 \end{eqnarray}$ . Daher ist $\begin{eqnarray} y \notin M \end{eqnarray}$ , also war die Annahme falsch und es gilt $\begin{eqnarray} y \in \mathbb R^n_+ \end{eqnarray}$ . Ist das korrekt?
23.05.2012, 14:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so geht's Es ist ja klar, dass man o.b.d.A annehmen kann, dass der negative Eintrag in y schon an erster Stelle steht. Wenn nicht, nimmt man halt für x nicht den ersten Einheitsvektor, sondern schreibt die 1 in x da hin, wo halt der negative Eintrag von y ist.
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