A = A^n => A diagonalisierbar

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0815# Auf diesen Beitrag antworten »
A = A^n => A diagonalisierbar
Hallo,

ich soll folgendes zeigen:

Sei A eine komplexe k x k -Matrix für die es ein n aus den natürlichen Zahlen gibt, mit (A ist Idempotent). Dann folgt A ist diagonalisierbar.


Mein einziger (leider falscher) Ansatz war: ... doch leider sind Matrizen bekanntlich nicht nullteilerfrei, somit komme ich hier nicht weiter.

Ich habe auch versucht eine Lösung mit char. Polynom und Minimalpolynom zu finden, aber mir erschließt sich nicht, warum bei idempotenten Matrizen das char. Polynom und das Minimalpolynom die gleichen Eigenschaften haben sollen ...


Kann mir jemand von euch weiterhelfen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A = A^n => A diagonalisierbar
Aus der Gleichung kannst Du schon ein Polynom ablesen, das als Nullstelle hat. Damit zeigst Du dann, dass alle Nullstellen des Minimalpolynoms paarweise verschieden sind.

Gruß,
Reksilat.
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A = A^n => A diagonalisierbar
Zitat:
Original von Reksilat
Damit zeigst Du dann, dass alle Nullstellen des char. Polynoms paarweise verschieden sind.


Du meinst alle Nullstellen des Minimalpolynoms sind paarweise verschieden.


@0815: Entweder ist die Aufgabe schlampig gestellt oder du hast und was verschwiegen.
Man braucht noch, dass der Körper, über dem wir das ganze betrachten, algebraisch abgeschlossen ist. (Oder wenn man es noch abschwächen will, zumindest die (n-1)-ten Einheitswurzeln enthält).
Damit diese Einheitswurzeln wirklich verschieden sind, braucht man auch noch, dass die Charakteristik von K nicht durch n-1 teilbar ist.

Z.b. erfüllt die Matrix die Gleichung , aber A ist noch nicht mal trigonalisierbar über
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A = A^n => A diagonalisierbar
@tmo: Danke! Ich korrigiere das mal oben...

btw.: In der Aufgabenstellung steht:
"Sei A eine komplexe k x k -Matrix"
Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, da hab ich die ganze zeit nach "algebraisch abgeschlossen" gesucht und hab dabei "komplex" überlesen.

Halten wir also fest, dass ich schlampig gelesen habe Augenzwinkern
0815# Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A = A^n => A diagonalisierbar
Zitat:
Original von Reksilat
Aus der Gleichung kannst Du schon ein Polynom ablesen, das als Nullstelle hat.


Meinst du ? Tut mir leid, ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch ... :-/
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A = A^n => A diagonalisierbar
Nein, ein Polynom. Also ein Ausdruck der Form , wobei die hier ganze Zahlen sein dürfen.
Und wenn man für eben einsetzt kommt Null raus. Es ist wirklich ganz banal. Augenzwinkern
0815# Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, okay, das Polynom würde dann wie folgt aussehen:



Das müsste aber jetzt stimmen, oder?

Zu deinem 2ten Hinweis (zeigen, dass das Minimalpolynom paarweise verschiedene Nullstellen hat) kann ich jetzt noch nix sagen, da muss ich nochmal drüber nachdenken ...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das Polynom hat als Nullstelle.
Daraus folgt dann aber direkt, dass das Minimalpolynom ein Teiler von ist.
Nun musst Du eben nur noch zeigen, dass lauter paarweise verschiedene Nullstellen hat.
0815# Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich habe keine Ahnung, wie man das zeigen kann ... :-/

Trotzdem Danke für deine Hilfe.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Da Reksilat gerade offline ist:

Wir sind doch glücklicherweise in , da kann man die Nullstellen von doch explizit alle hinschreiben und daran dann sehen, dass sie alle verschieden sind.

D.h. du brauchst dafür noch nicht mal abstrakte algebraische Argumente (Was du bräuchtest, wenn wir statt in in einem beliebigen alg. abgeschlossenen Körper geeigneter Charakteristik wären)
0815# Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass jedes Polynom über in Linearfaktoren zerfällt.

Aber wie sehe ich dem Polynom an, dass alle Linearfaktoren die Vielfachheit 1 haben ... ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch

Also ist 0 eine Nullstelle. Die anderen Nullstellen kommen von .

Normalerweise sollte man wissen, wie diese aussehen.
0815# Auf diesen Beitrag antworten »

Die sind 1 und -1 (falls n-1 gerade ist) ...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Schon mal was von komplexen Einheitswurzeln gehört?

Etwas schade, wenn eine solche Aufgabe aus der immerhin fortgeschrittenen linearen Algebra an Grundlagen scheitert. Dann ist es kein Wunder, dass man die Aufgabe nicht lösen kann.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es aber auch anders sehen, denn eine mehrfache Nullstelle eines Polynoms ist auch immer Nullstelle der Ableitung des Polynoms. (Kann man mit der Produktregel beim Ableiten gut herleiten.)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich dachte nur, dass in der Weg, dass man die Nullstellen einfach alle angibt, etwas einfacher ist, weil weniger abstrakt.

Warten wir mal ab, wenn sich 0815 wieder meldet. Vielleicht lässt ihn ja das Stichwort Einheitswurzeln schon auf die Lösung kommen. Sonst muss in der Tat der Weg über die formale Ableitung her.
0815# Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, im Skript von einer Veranstaltung des letztjährigen Semesters steht auch was zu den n-ten Einheitswurzeln. Sorry, dass ich das nicht mehr präsent hatte.

hat demnach n-1 paarweise verschiedene Lösungen, welche ungleich 0 sind (die n-1 Ecken eines regulären n-1-Ecks)

=> hat n paarweise verschiedene Nullstellen

=> die Nullstellen des Minimalpolynoms von A sind ebenfalls paarweise verschieden

=> A ist diagonalisierbar
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Geht doch Freude
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