Zusammenhang zwischen Integral und Ober-/Untersumme

23.05.2012, 12:27	Physikaffe	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang zwischen Integral und Ober-/Untersumme Hallo, wenn ich die Obersumme mit $\begin{eqnarray} OS \end{eqnarray}$ und die Untersumme mit $\begin{eqnarray} US \end{eqnarray}$ bezeichne, dann ist das Integral $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ einer Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ja: $\begin{eqnarray} I=\lim_{n \to \infty} OS_n=\lim_{n \to \infty} US_n=\int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ Damit habe ich ein kleines Problem. Wenn ich die Sache richtig verstanden habe, geht $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} OS_n \end{eqnarray}$ gegen null (da die Fläche oberhalb der Kurve mit wachsender Anzahl an Intervallen immer mehr verschwindet), also muss doch auch $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} US_n \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ gegen null gehen und das verstehe ich nicht. Die Untersumme ist doch gerade die Fläche unterhalb der Kurve, oder? Es sollte also eine Integralfunktion oder zumindest eine reelle Zahl herauskommen. Zweitens heißt es, dass die Differenz aus Ober- und Untersumme bei steigender Anzahl an Intervallen gegen null geht: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} (OS_n-US_n)=0 \end{eqnarray}$ . Auch hier bin ich schwer von Begriff. Eigentlich ist Integralrechnung für mich nichts Neues, aber beim Durchstöbern schien ich einiges vergessen oder einfach nicht beachtet zu haben, ich hoffe daher auf ein bisschen Aufklärung.
23.05.2012, 13:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Obersumme geht nicht gegen Null, da hast Du etwas missverstanden. Die Obersumme ist die Summe der Flächen, die entsteht, wenn man die Rechtecke so legt, dass ihre obere Kante die Funktion oberhalb berüht. Bei der unteren Summe entsprechend unterhalb. Nur wenn diese Flächen gegen denselben Wert konvergieren, nennt man die Funktion Riemann-integrierbar.

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