Wahrscheinlichkeit und Hypothesen Abitur Prüfung |
| 23.05.2012, 12:41 | Twenty7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Wahrscheinlichkeit und Hypothesen Abitur Prüfung Guten Tag alle miteinander, als erste schreibe ich hier einmal die Aufgabe hinein: Stellen sie schlüssige Lösungen zu folgendenoffenen Problemstellunen der Stochastik dar. "Münzwurf": Der skeptische Sigi will die in seinem Freundeskreis verbreitete Behauptung berprüfen, bei der deutschen 1?-Münze würde man beim zufälligen Münzwurf etwas häufiger die "Zahlseite" Z als die "Adlerseite" A erhalten. Dafür führt er zunächst eine Zufallsserie mit 10 Würfen durch und notiert die Anzahl der Z. Berechnen sie die zugehörige (theoretische) Wahrscheinlichkeitsverteilung. Führen Sie nun selbst (praktisch) eine entsprechende Serie durch, werten Sie Ihre Statistik aus und vergleichen und interpretieren Sie Ihre bisherigen Ergebnisse. Stellen Sie anhand dieses Beispiels auch kurz die entsprechenden Probleme beim "Testen von Hypothesen" dar. Durch die Komplexität bzw. den Anspruch Ihrer Lösung bestimmen sie das erreichbare Notenspektrum. So, ich sitze mittlerweile schon seit knapp 4 Tagen an dieser Aufgabe und verstehe einfach nicht warum ich es nicht auf die Reihe bekomme sie zu lösen, und aus diesem Grund benötige ich unbedingt eure Hilfe, da ich meine Dokumentation schon am Dienstag fertig bzw. abgegeben haben muss. Das Problem ist das mir die Aufgabe teilweise zu einfach erscheint (Bsp.: theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung: Baumdiagramm ?) Andererseits weiß ich aber auch garnicht mehr wie man Hypothesen berechnet und die fülle die ich an Hilfe, in bezug auf "Testen von Hypothesen", im Internet bekomme verwirrt mich leider nur zusätzlich. Fehler 1 und 2 Art bereitet mir sehr große Kopfschmerzen. Ich benötige also ganz dringend eure Hilfe. Ich bin zwar theoretisch schon mit dem Abi durch und hab auch bestanden, doch mit nur 1 Punkt aus der Mündlichen Prüfung zu kommen würde mich nicht gerade begeistern. Lösungsansätze habe ich zwar, das ist aber gerade einmal ein Baumdiagramm wo am Ende 50% rauskommt und das wars leider auch schon =(...Ich bedanke mich bereits im Vorraus ganz herzlich bei euch! :-) Mfg Twenty7 Meine Ideen: Ich habe leider nicht viel dazu beizutragen weil ich gerade echt eine starke Blockade besitze und es einfach nicht schaffe mehr als ein Baumdiagramm zu produzieren. Ich hoffe ihr könnt mich wieder in die richtige Bahn lenken. Danke |
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| 23.05.2012, 14:31 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Wahrscheinlichkeit und Hypothesen Abitur Prüfung (Dringend) Ich würde mich mit folgenden Stichworten befassen: Münzwurf: 2 Elementareignisse Z/A Wahrscheinlichkeiten: P(Z) = p, P(A) = 1 - P(Z) Diese bleiben bei jedem Wurf gleich. Unabhängigkeit der einzelnen Würfe. Anzahl der Würfe: n = 10 Diese Angaben deuten auf welche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit welcher allgemeinen Formel hin? Dann Betrachtung der eigenen Serie: Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass genau die in der eigenen Serie aufgetretene Anzahl der Z geworfen wird. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens die in der eigenen Serie aufgetretene Anzahl der Z geworfen wird. Nullhypothese: p = 0.5 Alternativhypothese: p > 0.5 Auswahl des Signifikanzniveaus, z.B. 1 %, 5 %, d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit wäre man bereit, p > 0.5 anzunehmen, obwohl p = 0.5 ist (Fehler 1. Art) Wie oft müßte dann bei 10 Würfen Z mindestens eintreten, damit man einen Fehler 1. Art macht? Da über die angeblich etwas größere Wahrscheinlichkeit von Z nichts gesagt wird, könnte man beispielhaft die Alternativhypothese auch als Punkthypothese formulieren, z.B. p = 0.55, p = 0.6, p = 2/3 o. ä. Für diese Beispielwerte dann: Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass genau die in der eigenen Serie aufgetretene Anzahl der Z geworfen wird. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens die in der eigenen Serie aufgetretene Anzahl der Z geworfen wird. Auswahl einer Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, also p = 0.5 anzunehmen, obwohl p = 0.55, p = 0.6, p = 2/3 ist. Wie oft dürfte dann bei 10 Würfen Z höchstens eintreten, damit man einen Fehler 2. Art macht? Schließlich sollte man sich auch die Frage stellen, ob 10 eine geeignete Serienlänge für den Hypothesentest ist. Wie verhalten sich Z und die Irrtumswahrscheinlichkeiten für n > 10? Z. B. n = 50, n = 100? Wenn man das ein bißchen ausarbeitet, sollte es wohl für mehr als 1 Punkt reichen. Nur das Baumdiagramm fände ich in diesem Fall entbehrlich. |
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| 23.05.2012, 16:03 | Twenty7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke ersteinmal für die schnelle Antwort. Du spricht von den Wahrscheinlichkeiten P(Z), P(A), etc. Ich weiß nur leider nicht was damit gemeint ist. Bei der Formel würde ich persönlich jetzt nur an die Bernulli-Formel ,also mit zurücklegen denken. Ist das richtig gedacht?
Okay das klingt zwar relativ plausibel für mich allerdings wüsste ich jetzt leider nicht genau was ich tun muss um das zu berechenen. Könntest du mir da eventuell noch etwas weiter helfen?
Was ist denn jetzt der Fehler 2. Art ? 1Art: mit welcher Wahrscheinlichkeit wäre man bereit, p > 0.5 anzunehmen, obwohl p = 0.5 ist. 2. Art dann: Mit welcher Wahrscheinlichkeit 0.5 richitg zu bewerten obwohl p eine höhere Wahrscheinlichkeit aufweist ?
Also dasselbe verfahren auch nochmal auf größere n-Werte anwenden, okay verstanden 
Ich bedanke mich schonmal im Vorraus für die weitere Beantwortung, aber eine Sache steht noch in der Aufgabe : Allgemeine Probleme beim Testen von hypothesen und das erklärt an diesem Beispiel?! |
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| 23.05.2012, 17:39 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bernoulli mit Zurücklegen ist gut. Ich hoffe, Du hast schon mal eine Stochastiktabelle zur Hand. Denn das alles einzeln auszurechnen, ist unzumutbar und unnötig. Zur Sicherheit stell ich Dir hier einen Ausschnitt rein. Daran liest man z. B. ab, dass bei einer idealen Münze mit Wahrscheinlichkeit P(Z) = 0.5 bei 10 Würfen zu 4,395 % GENAU 8 Mal Zahl kommt. Zu 98,9265 % kommt HÖCHSTENS 8 Mal Zahl. Die Werte für p = 0.55 und p = 0.6 sind auch erkennbar. Wenn Du selbst 10 Mal geworfen hast, kannst Du also Dein Ergebnis entsprechend bewerten. Was den Hypothesentest betrifft, kann hier nur eine knappe Erläuterung erfolgen, sonst führt das zu weit. Da wie gesagt bei p = 0.5 die Wahrscheinlichkeit für Z <= 8 ca. 99 % ist, tritt bei einer idealen Münze nur in ca. 1 % aller 10er-Serien 9 oder 10 Mal Zahl auf. D. h. wählt man z. B. ein Signifikanzniveau von 1 %, wäre man bereit, die (wahre) Hypothese p = 0.5 in 1 % aller Fälle irrtümlich abzulehnen und zu Unrecht p > 0.5 anzunehmen, wenn 9 oder 10 Mal Zahl fällt (= Fehler 1. Art). Der Fehler 2. Art ist dann, p = 0.5 anzunehmen, obwohl p > 0.5 zutrifft. Hierzu kannst Du vergleichen, wie sich die abgebildeten Tabellenwerte für 0.55 und 0.6 zu 0.5 verändern. Z.B. erhält man bei p = 0.6 in 5,476 % der 10er-Serien höchstens 3 Mal Zahl, bei p = 0.5 aber zu 17,188 %. Ein Problem bei so kleinen Stichprobenumfängen ist die grobe Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die einzelnen Versuchsergebnisse. Deswegen sind die Sprünge in der Summenwahrscheinlichkeit zwischen den Stufen relativ hoch. Erhöht man die Wurfserie z. B. auf 100, verfeinert sich die Unterteilung. |
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