Untersuche die Reihe auf Konvergenz

23.05.2012, 13:22

Emmy_Noether

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Untersuche die Reihe auf Konvergenz

Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz. Dabei ist die Benutzung des Wurzel- und Quotientenkriteriums nicht erlaubt!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^{n}}{2!} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Sie konvergiert. Gegen rund 6,39
Ich habe nur leider keine Idee, wie ich das nun beweisen kann.
Über ein paar Tipps wäre ich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ dankbar. Engel

Engel

23.05.2012, 13:32

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Statt k muss da natürlich n im Summenindex stehen.

Zur Aufgabe?

Die Summanden sind alle positiv. Wenn du also jeden Summanden (bis auf endlich viele) gegen einen Summanden einer absolut konvergenten Reihe nach oben abschätzen kannst, dann kannst du die Reihe (bis auf die endlich vielen, wo das nicht klappt) gegen die konvergente Reihe abschätzen.

Was kennst du denn bspw. für einfache (absolut) konvergente Reihen?

Gruß
MI

23.05.2012, 13:46

Valdas Ivanauskas

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Bitte überprüfe die Aufgabenstellung!

Ich rate jetzt einfach mal drauf los und tippe dass es eigentlich um diese Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac {2^n}{n!} \end{eqnarray*}$

geht.

Bei dieser Reihe jedenfalls kannst Du mit einer naheliegenden Abschätzung eine spezielle geom. Reihe als konv. Majorante gewinnen.

23.05.2012, 13:48

Mystic

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz

Zitat:

Original von MI
Statt k muss da natürlich n im Summenindex stehen.

Ja, und statt 2! muss da n! stehen, wenn wirklich ca. 6.39 herauskommen soll... Wenn schon die extrem kurze Angabe derart krasse Fehler enthält, kann das ja noch lustig werden... Ich sage nur: Mein Mitgefühl hast du, MI, falls du dich wirklich der Sache annimmst... Big Laugh

Big Laugh

23.05.2012, 13:52

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Ja genau ich meinte natürlich n=0

Erst mal ist jede $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ absolut konvergent, wenn auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}| \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

Desweiteren gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ ist absolut konvergent.

Und dann ist:
$\begin{eqnarray*} e= \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

23.05.2012, 13:57

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Tut mir leid für meinen Tippfehler.

Ihr habt natürlich Recht.

@Mystic: Ich finde deinen Kommentar ein bisschen daneben. Ich habe mich eben vertippt, was bei diesen Formeln schon mal passieren kann (auch wenn es dann vllt keinen Sinn ergibt). Immerhin schreibe ich es in dem Formeleditor! Und ihr seid ja offensichtlich schlau genug, zu erkennen, wie die Formel eigentlich heißen sollte...

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23.05.2012, 14:02

Mystic

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz

Zitat:

Original von Emmy_Noether
@Mystic: Ich finde deinen Kommentar ein bisschen daneben. Ich habe mich eben vertippt, was bei diesen Formeln schon mal passieren kann (auch wenn es dann vllt keinen Sinn ergibt). Immerhin schreibe ich es in dem Formeleditor! Und ihr seid ja offensichtlich schlau genug, zu erkennen, wie die Formel eigentlich heißen sollte...

Sorry, aber dafür fehlt mir auch das geringste Verständnis... Immerhin hast du ja mit der Option "Vorschau" die Möglichkeit, vor dem Absenden das Posting noch einmal daraufhin zu überprüfen, wie das dann aussehen wird... Statt dessen sollen aber deiner Meinung nach die Helfer erraten, was wirklich gemeint sein könnte... geschockt

geschockt

P.S.: Mein Zorn richtet sich da übrigens nicht nur gegen dich, sondern gegen viele, viele andere hier, die genauso denken wie du! unglücklich

unglücklich

23.05.2012, 14:06

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Kurz zum Problem:

Darauf wollte ich nicht unbedingt hinaus. Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ ist zwar absolut konvergent - aber für welche x? Du benötigst hier ja offenbar x=2. Wenn du das da wüsstest, dann wärest du fertig.

Absolut konvergent ist im Grunde auch nicht so wichtig. Ich wollte nur darauf hinaus, dass die Reihe halt positiv ist, und dass du am besten gegen eine Reihe abschätzt, die auch nur positive Summanden enthält.

Schauen wir uns mal einfache Reihen an, z.B.
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$
Kannst du damit was machen?

23.05.2012, 14:09

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
@Valdas:

Ja genau, ich hatte einen Tippfehler unglücklich

unglücklich

Ich kenne die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Wenn ich meine Reihe aber nun aufteile in:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 2^n * \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

wäre meine geometrische Reihe:
$\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} |q| > 1 \end{eqnarray*}$
was mir denke ich nicht weiter hilft verwirrt

verwirrt

23.05.2012, 14:15

DavidH

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Hackt nicht so auf der Emmy rum, das ist hier schließlich keine Badeanstalt.

23.05.2012, 14:17

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Dann probieren wir es anders:
Schreiben wir mal aus, wie der n-te Summand aussieht:

$\begin{eqnarray*} \frac21\frac22\frac23\ldots \frac{2}{n-1}\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$
Kannst du den irgendwie abschätzen?

Gruß
MI

23.05.2012, 14:26

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
@Mi:

Ja, die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k²} \end{eqnarray*}$ ist konvergent, weil

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2} = \frac{2}{2k^2} = \frac{2}{k\left(k+k\right) } \leq \frac{2}{k(k+1)} \forall k\geq 1 \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{k(k+1)} = 2 \end{eqnarray*}$ konv. Majorante.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} und 0\leq \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \leq 2 \end{eqnarray*}$

Analog folgt auch die Konvergenz für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^l} , l\geq 2 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^l}\leq \frac{1}{k^2} \forall k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

23.05.2012, 14:28

Emmy_Noether

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@DavidH: Danke Blumen

Blumen

23.05.2012, 14:36

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Ja, die Reihe konvergiert. Ich dachte halt, dass wäre schon bekannt.

Von mir aus konvergiert auch
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{2}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$
Das ist sogar noch besser.
Kannst du deine Reihe nicht dagegen abschätzen? Vielleicht noch mit einem Faktor?

23.05.2012, 14:48

Valdas Ivanauskas

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz

Zitat:

Original von Emmy_Noether
Wenn ich meine Reihe aber nun aufteile in:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 2^n * \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

wäre meine geometrische Reihe:
$\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} |q| > 1 \end{eqnarray*}$
was mir denke ich nicht weiter hilft verwirrt

verwirrt

Mit einer nahezu trivialen Induktion kannst Du zeigen

$\begin{eqnarray*} 2^{2n}\leq n!\text{ für alle }n\geq 9. \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du die benötigte Abschätzung vornehmen.

23.05.2012, 14:57

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
OK jetzt bin ich etwas verwirrt.

Für meine Summe hatte ich nun erst einmal $\begin{eqnarray*} \frac{4}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$
Ist das überhaupt richtig?
Denn dann wäre meine Überlegung jetzt so:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{2}{n(n+1)} \leq \frac{1}{2} \frac{4}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

Eigentlich müsste ja aber $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ meine Majorante sein...
Also hab ich doch irgendwas falsch gemacht.

23.05.2012, 15:17

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht ganz nachvollziehen kann, wo du gerade bist. Schreibe doch mal geordnet auf, was du dir jetzt gedacht hast.

Aber wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{k(k-1)} \end{eqnarray*}$

Gruß
MI

23.05.2012, 15:43

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Ich habe gedacht, mit dem Majorantenkriterium zu zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^k}{k!} \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

Mit:

$\begin{eqnarray*} 0\leq a_{n} \leq b_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ist meine Folge und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wäre dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Laut dem Kriterium müsste $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ aber meine Folge sein...

Und nun hab ich dann immer noch nicht den Grenzwert bestimmt.

Ich glaub, ich steh mächtig aufm Schlauch geschockt

geschockt

23.05.2012, 15:50

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Ok. Majorantenkriterium ist schon mal gut. Aber natürlich müsstest du $\begin{eqnarray*} 2^k/k! \end{eqnarray*}$ nach oben gegen $\begin{eqnarray*} c/(k\cdot (k+1) \end{eqnarray*}$ abschätzen - da hast du Recht.

Aber trotzdem scheint mir dein Gedankengang immer noch etwas wirr.

Nehmen wir doch einfach einen beliebigen Summanden:

$\begin{eqnarray*} \frac21\frac22\frac23\ldots \frac{2}{n-2}\frac{2}{n-1}\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$
Und jetzt abschätzen:
$\begin{eqnarray*} \frac21\frac22\frac23\ldots \frac{2}{n-2}\frac{2}{n-1}\frac{2}{n}\leq 2\cdot 1\cdot 1\ldots 1\frac{2}{n-1}\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

Siehst du, was ich meine?

Gruß
MI

23.05.2012, 16:01

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
OK, ja das versteh ich jetzt.

Und woher weiß ich nun, dass:

$\begin{eqnarray*} 2*1*1*1...1\frac{2}{n-1}\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ konvergent ist?

Und wenn ich das dann weiß, muss ich noch den Grenzwert bestimmen, oder reicht es zu sagen, dass die Reihe konvergent ist, da ich ja auf Konvergenz untersuchen soll?

23.05.2012, 16:27

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Naja, schreib's doch mal aus. Was ist denn das? Welche Reihen haben wir denn oben schon als konvergent betrachtet? Warum ist das also eine Majorante?

Zum Grenzwert: Selbstverständlich musst du NICHT den Grenzwert berechnen. Das ist im Allgemeinen auch extrem hart. Du sollst ja nur sagen, ob es konvergiert - und die Summe ist streng monoton und kleiner als eine konvergente Summe mit dem Majorantenkriterium, also konvergiert sie mit Sicherheit.

Gruß
MI

23.05.2012, 17:21

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Sorry, dass ich jetzt so doof frage, aber mir scheint Wissen zu fehlen.
Was genau soll ich ausschreiben?
Die Summe $\begin{eqnarray*} 2*1*1*1...\frac{2}{n-1}\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ ?
Ich dachte, das wäre bereist die ausgeschriebene Summe.

Als konvergent haben wir $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Du gibst dir solche Mühe und ich kann dir nicht richtig folgen. Tut mir leid. unglücklich

unglücklich

23.05.2012, 20:38

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Ja, ich glaube, jetzt hast du dich vollends verrannt...

Also es gilt doch offenbar $\begin{eqnarray*} 2*1*1*1...1*\frac{2}{n-1}\frac{2}{n} \leq 2^3\frac{1}{(n-1)n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ .
Also gilt insgesamt:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!}\leq 2^3\frac{1}{(n-1)n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$

Also folgt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{n!}\leq 2^3 \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-1)n} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist die rechte Seite eben konvergent und damit auch wie gewünscht die rechte Seite nach dem Majorantenkriterium. Dass wir links eigentlich von n=1 losgehen müssen, spielt natürlich keine Rolle für die Konvergenz der linken Seite, da nur ein zusätzlicher (endlicher) Wert addiert wird.

Eine Alternative wäre der von Vaklas Ivanauskas vorgeschlagene Ansatz.

Gruß
MI

23.05.2012, 20:48

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Aaaaah, danke.
JETZT leuchtet ein, was du von mir hören wolltest.
$\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ war der Faktor, den du meintest und die Reihe hatten wir ja schon als konvergent betrachtet...
Danke, danke, danke (auch für deine Geduld).

LG

23.05.2012, 21:13

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Ja, wobei die Faktoren nur technisch sind.
Was du jetzt noch versuchen solltest dir klar zu machen, wo denn der wahre Hintergrund liegt: In 2^n/n! haben Zähler und Nenner genau n Terme, wobei der Zählerterm eben nicht wächst, was für große n bedeutet, dass es in jedem Summanen Faktoren von der Art 1/n und 1/(n-1) gibt - das bedeutet, für große n, fällt das ganze schneller ab als 1/(n*(n-1)), was ungefähr dem Abfallverhalten von 1/n^2 entspricht. Also sollte es möglich sein, 2^n/n! gegen so etwas wie 1/n^2 abzuschätzen - natürlich mit technischen Vorfaktoren.
Und nichts anderes war mein Ansatz.

Mit einem ähnlichen Argument sieht man auch sofort die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ ohne Wurzel- oder Quotientenkriterium.

Gruß
MI

24.05.2012, 07:50

Mystic

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Ja, MI hat die in ihn gesetzten Erwartungen voll erfüllt... Gäbe es hier einen Preis für großes Durchhaltevermögen, er hätte ihn wahrlich verdient... Freude

Freude

Dabei ist es ein vergleichsweise unwegsamer Gebirgspfad auf dem er Emmy da mitgeschleppt hat... Am naheliegendsten ist hier wohl, dass man ein a>2 wählt (z.B. a=3 oder meinetwegen auch a=4, wie von Valdas Ivanauskas vorgeschlagen) und dann induktiv beweist, dass $\begin{eqnarray*} n! > a^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ gilt, woraus dann wegen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=n_0}^\infty \frac {2^n}{n!} < \sum_{n=n_0}^\infty \left( \frac 2a \right)^n \end{eqnarray*}$

und 0 < 2/a < 1 sofort die Konvergenz folgt...

24.05.2012, 21:18

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Danke smile

smile

.

Aber findest du den Weg wirklich so abwegig? Im Grunde brauche ich für meinen Weg nur drei Zeilen und es ist halt nur eine brutale Abschätzung gegen eine auch relativ bekannte Reihe (Summand 1/n^2). Das ist sicherlich weniger elegant - aber dennoch vielleicht häufig ganz hilfreich.

$\begin{eqnarray*} n! > a^n \end{eqnarray*}$ für jedes a und n groß genug ist natürlich auch eine feine Sache und beweist im Grunde die punktweise Konvergenz der Potenzreihe für e^x auf ganz IR, wenn ich das gerade richtig sehe - aber wenn einem das zunächst nicht auffällt (ich hatte zunächst an den Summanden $\begin{eqnarray*} n!/n^n \end{eqnarray*}$ gedacht)...

Außerdem wollte ich nach dem einmal eingeschlagenen Weg nicht unbedingt noch mehr Verwirrung stiften Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.05.2012, 22:16

Mystic

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
@MI

Ja, da hast du schon recht, wenngleich ich schon glaube, dass unendlich geometrische Reihen als konvergente Majoranten noch eine Stufe "elementarer" sind als die von dir betrachteten Reihen... IMHO sieht der einfachste Beweis so aus, dass man einfach die für n>1 gültige Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac {2^n}{n!} = \frac 21 \frac 22 \underbrace{\frac 23 \frac 24 \cdots \frac 2n}_{\le (2/3)^{n-2}} \end{eqnarray*}$

verwendet um auf eine einfache konvergente Majorante zu kommen...

Übrigens gewinnt man beim Lesen des Threads den Eindruck, als ob die Konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty \frac 1{k(k-1)} \end{eqnarray*}$

auf die Konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^2} \end{eqnarray*}$

zurückgeführt wird, obwohl das natürlich ganz einfach direkt mit dem sog. Teleskoptrick geht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2012, 22:09

MI

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Okay, dein jetzt noch angesprochener Weg ist natürlich genauso schnell und nutzt ebenfalls die geometrische Reihe, die, da gebe ich dir Recht, fundamentaler ist als meine Reihe.

Nur leider übersehe ich die geometrische Reihe regelmäßig Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Das mit dem Lesen des Threads ist richtig. Ich hatte zunächst (also zu Beginn) eigentlich auf die Abschätzung nach 1/n^2 hinausgewollt, weil das bei mir der erste Gedanke war.
Daher habe ich mich hinterher angepasst, aber der Thread besticht ja leider insgesamt nicht unbedingt durch absolute Ordnung der Gedanken Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Mein letzter Post ging dann wieder in die Richtung - was daher rührt, dass für mich moralisch gesehen die Konvergenz (auf meinem Wege) daraus folgt, dass wir insgesamt eben ein schlechtestenfalls polynomielles Abfallverhalten im Nenner haben (einfachstes Nennerpolynom ist dann wieder n^2). Ich wollte also versuchen noch weiter zu sensibiliseren, dass das hier kein Einzelfall ist.
Als jemand, der doch ursprünglich von der Physik kommt, denke ich über Reihen meist in Form von Integralen nach. Daher kommt vermutlich die etwas andere Denkweise.

Die ganze Diskussion war sicherlich im Nachhinein nicht in allen Punkten optimal, aber jetzt haben wir immerhin eine Sammlung von Lösungen.

Danke für deine nachträglichen Kommentare!

Gruß
MI

26.05.2012, 11:13

Emmy_Noether

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Ein Dankeschön auch von mir an Mystic. Das hat mir im Verständnis noch mal viel weiter geholfen. Freude

Freude

26.05.2012, 13:57

Mystic

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Danke, das hört man gerne... smile

smile

Ja, in der Mathematik ist vieles nur Übungssache, mehr als die meisten glauben... Und wenn das dazu gedient hat, deine mathematische "Trickkiste" aufzufüllen - darum geht es letzlich -, dann hat es seinen Zweck erfüllt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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