Hessesche Normalenform

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23.05.2012, 15:35	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hessesche Normalenform Meine Frage: hallo, ich muss die abstände der punkte, A,B und C von der Ebene,die durch die Punkte P,Q und R festgelegt ist berechnen. A(3/3/-4), B(-4/-8/-18), C(1/0/19), P(2/0/4), Q(6/7/1), R(-2/3/7) könntet ihr mir bitte helfen, denn ich bin gerade richtig überfordert! Bitte mit Zwischenschritten und wie ich vorgehen muss. Meine Ideen: ich weiß nciht wie ich vorgehen muss.
23.05.2012, 15:52	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Als erstes benötigst Du einmal die Koordinatenform der Ebene, die die Punkte P, Q und R enthält. Dazu gibt es mindestens zwei Möglichkeiten: einmal die Umformung der Parameterform, oder ein Ortsvektor und der Normalvektor der Ebene. Wieviel kennst Du schon von diesem Stoff?
23.05.2012, 15:59	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
die Koordinatenform der Ebene ist: E: (2/0/4)+ t(4/7/-3)+s(-8/10/6) ..wenn i mich nciht irre.
23.05.2012, 16:10	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die Parameterform. Aber damit können wir schon arbeiten. Nur hast Du Dich beim zweiten Richtungsvektor vertan, wenn das $\begin{eqnarray} \overrightarrow{QR} \end{eqnarray}$ sein soll. $\begin{eqnarray} E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Ebenengleichung kannst Du jetzt als drei einzelne Gleichungen anschreiben, und indem Du die Parameter eliminierst, bekommst Du die Koordinatenform.
23.05.2012, 16:14	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm.. sorry weiß echt nicht wie ich das jetzt machen soll!
23.05.2012, 16:17	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt Ihr in der Schule einen anderen Weg besprochen, welchen?
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23.05.2012, 16:26	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
also wir hatten immer eine ebene z.b.(2x+y-2z=9) dann kam folgender schritt E: x* (2/1/-2) =9 dann sollten wir nen linear abhängigen vektor ausrechnen also n Ansatz: x*!n!=1
23.05.2012, 16:33	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber die Ebene, die Du in Klammer gegeben hast, die suchen wir ja noch. Das sind die drei Gleichungen, die man aus meiner Parameterform gewinnt. Jetzt wie gesagt die Parameter eliminieren - das ergibt die Koordinatenform der Ebene. x = 2 + 4t - 8s y = 0 + 7t - 4s z = 4 - 3t + 6s Ich rätsle noch über Deinen Ansatz.
23.05.2012, 16:41	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
aso, wie eliminiert man jetzt die Parameter?? tut mir wirklich leid, bin nicht sehr begabt und bin grad am verzweifeln.. aber deinen weg beginne ich langsam zu verstehen
23.05.2012, 16:47	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Lösung eines linearen Gleichungssystems gibt es mehrere Verfahren, am besten eignet sich hier das Additions- oder Subtraktionsverfahren. Man formt eine oder zwei Gleichungen so um, dass bei deren Addition ein Parameter wegfällt. Das macht man auch mit zwei anderen Gl. und läßt wieder den gleichen Par. wegfallen. So erhält man zwei Gleichungen, mit denen man ebenso verfährt, und bekommt die Koordinatenform.
23.05.2012, 16:57	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
könntest du mir das auch nochmal rechnerich zeigen?? sorry für die unannehmlichkeiten :S
23.05.2012, 17:05	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst Hilfe erhalten, aber ganz vorrechnen darf ich das Beispiel nicht, denn das wäre gegen unser Boardprinzip. Aber es ist ja nicht schwer, und wir werden das hoffentlich auch so hinkriegen. Multipliziere z. B. die zweite Gleichung, also y = 0 + 7t - 4s, mit -2 und addiere dieses Ergebnis zur ersten Gleichung. Anders gesagt: I - 2 * II Du wirst sehen, dass Parameter s verschwunden ist. Dann rechnest Du 3 * II + 2 * III. Wieder ist s verschwunden, aus diesen beiden Gleichungen entfernst Du dann Paramter t in gleicher Weise.
23.05.2012, 17:15	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
ok.. also dann krieg i raus 2-10t und 8+15t und davon krieg i dann 22 raus... richtig??
23.05.2012, 17:21	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, aber die linke Seite darfst Du nicht einfach weglassen. Du bekommst: x - 2y = 2 - 10t 3y + 2z = 8 + 15t Jetzt lass t wegfallen (aber diesmal mit der linken Seite).
23.05.2012, 17:28	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
dann mach i die erste mal 3 und die zweite gleichung mal 2 dann kommt raus: 3x-6y=6-30t und:6y+4z=16+30t ist dann gleich: 3x+4z=22 oder??
23.05.2012, 17:30	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Das ist die Koordinatenform Deiner Ebene; diese bringen wir jetzt in die Hessesche Normalform. Also alles auf die linke Seite, und dann durch den Betrag des Normalvektors teilen.
23.05.2012, 17:43	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. also 3x+4z=22 3x+4z-22 durch 5 ?? 3/5 4/5 22/5
23.05.2012, 17:50	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fünftel stimmen, denn 5 ist der Betrag des Normalvektors. Aber um die Abstände der Punkte zu bekommen, musst Du diese in die Gleichung einsetzen. Schreibe Dir die Formel so auf: $\begin{eqnarray} \left\|\frac{3x+4z-22}{5}\right\|=d \end{eqnarray}$ Wenn Du nur den Lotabstand berechnen sollst, musst Du den Betrag des Ergebnisses nehmen.
23.05.2012, 17:57	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
also krieg i für den aabstand von A: -5,8, B: 21,2 und C:11,4 raus??
23.05.2012, 18:00	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist richtig. Und wie gesagt, das negative Vorzeichen kann man weglassen, wenn es nur um den Abstand geht.
23.05.2012, 18:02	girlsgocrazy	Auf diesen Beitrag antworten »
okay dankkkeeeeeeee vieeeeeeeel maaaaaaaaals... hast mir echt geholfen... danke danke danke.......................
23.05.2012, 18:03	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ursache.

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