Kompaktheitssatz [Prädikatenlogik]

23.05.2012, 22:29	LiGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheitssatz [Prädikatenlogik] Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} \mathcal R \end{eqnarray}$ die Struktur $\begin{eqnarray} \mathcal R (\mathbb R, \{(P,<),(Q,=)\},\{(f_0,0),(f_1,1),(g_1,+),(g_2,-),(g_3,)\}) \end{eqnarray}$ Ferner sei $\begin{eqnarray} Th(\mathcal R) := \{\alpha \in PF \mid \mathcal R \models \alpha \} \end{eqnarray}$ die Menge aller in $\begin{eqnarray} \mathcal R \end{eqnarray}$ gültigen Formeln. Beweisen Sie mit Hilfe des Kompaktheitssatzes der Prädikatenlogik die Existenz einen Modells von $\begin{eqnarray} Th(\mathcal R) \end{eqnarray}$ , in dem es infinitesimale Elemente gibt, also elemente a mit 0 < a < r für alle $\begin{eqnarray} 0 < r \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ Tipp: Erweitern Sie den zugrunde ligenden Typ um einen geeigneten Satz neuer Konstanten. Lösungsansätze* Klar ist, der zugrunde liegende Typ ist: $\begin{eqnarray} \tau = (\{P,Q\},\{f_0, f_1, g_1, g_2, g_3\}) \end{eqnarray}$ Mir ist auch klar, wie der Beweis im Prinzip geführt wird. Für alle Zahlen r1,....rn existiert eine reele Zahl a mit 0 < a < min(r1,...rn). Aber wer kann mir dabei helfen, wie ich den Typ erweitern muss, um diese Aussage für die Formeln gültig zu machen?

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