Wo liegt der Fehler?

23.05.2012, 23:47

mathinitus

Wo liegt der Fehler?

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray*} D:=\{(x,x)\in \mathbb{R}^2 : x\in\mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ . Dann lässt sich eine Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}^2\setminus D \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} g(x,y):=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \end{eqnarray*}$ definieren. Da $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to y}g(x,y)=f'(y) \end{eqnarray*}$ , lässt sich für festgehaltenes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Funktion auch für die Stelle $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzen. Halten wir nun dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ fest und lassen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ laufen, so haben wir auch $\begin{eqnarray*} \lim_{y\to x}g(x,y)=f'(x) \end{eqnarray*}$ und erhalten damit eine stetige Fortsetzung. Letzendlich lässt sich $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ also auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzen.
Folglich müsste $\begin{eqnarray*} x\mapsto g(x,x) \end{eqnarray*}$ stetig sein. Das ist aber gerade $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ . Eine differenzierbare Funktion muss im Allgemeinen aber keine stetige Ableitung besitzen. Wo liegt also der Fehler?

Viel Spaß bei der Suche!

24.05.2012, 00:16

tmo

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Nur weil sich $\begin{eqnarray*} x \mapsto g(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \mapsto g(x,y) \end{eqnarray*}$ jeweils stetig fortsetzen lassen, heißt das lange noch nicht, dass sich $\begin{eqnarray*} x \mapsto g(x,x) \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzen lässt.

24.05.2012, 07:47

mathinitus

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Wenn aber $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ stetig ist, dann doch insbesondere $\begin{eqnarray*} x\mapsto g(x,x) \end{eqnarray*}$ . Und für die Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ reicht es doch, die Stetigkeit komponentenweise nachzurechnen, oder?

24.05.2012, 09:02

tmo

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Zitat:

Original von mathinitus
Und für die Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ reicht es doch, die Stetigkeit komponentenweise nachzurechnen, oder?

Nein. Da verwechselst du was.

Wenn du eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f = (f_1,f_2, \dotsc, f_m) : \mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ hast, dann reicht es für die Stetigkeit die Stetigkeit jeder Komponente $\begin{eqnarray*} f_m \end{eqnarray*}$ zu bestimmen und dann auf die von f zu schließen.

Um aber die Stetigkeit eines einzelnen $\begin{eqnarray*} f_i : \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} (p_1,\dotsc, p_n) \end{eqnarray*}$ nachzuprüfen muss man aber alle Veränderlichen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ gleichzeitig dem Wert $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ annähern. Und zwar auf jede erdenkliche Weise.

Also letztendlich scheitert es dann daran, dass $\begin{eqnarray*} (x,y) \mapsto g(x,y) \end{eqnarray*}$ sich gar nicht stetig forsetzen lässt. Und dann kann man natürlich auch nicht erwarten, dass $\begin{eqnarray*} x \mapsto g(x,x) \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Du kannst dich auch selbst von diesem Gegenbeispiel überzeugen: (Dass es ein Gegenbeispiel geben muss, war ja klar, denn wir kennen ja diffbare, aber nicht stetig diffbare Funktionen. An dem hier sieht man halt recht gut, wo es scheitert)

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ mit der bekannten diffbare Fortsetzung in der 0. Dann ist $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ , also müsste die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \end{eqnarray*}$ sich in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ durch 0 stetig fortsetzen lassen.

Die Folgen $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{2\pi n + \frac{\pi}{2}}, y_n = \frac{1}{2 \pi n} \end{eqnarray*}$ widerlegen dies jedoch.

24.05.2012, 10:24

mathinitus

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von mathinitus
Und für die Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ reicht es doch, die Stetigkeit komponentenweise nachzurechnen, oder?

Vielen Dank, genau das habe ich verwechselt.

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