Exponentialfunktion 2

24.05.2012, 08:13	Tipso	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion 2 Wenn Lich von oben in einen See eindringt, nimmt seine Helligkeit mit zunehmender Tiefe exponentiell ab. Es sei $\begin{eqnarray} l_{0} \end{eqnarray}$ die Helligkeit an der Oberfläche und $\begin{eqnarray} L_{h} \end{eqnarray}$ die Helligkeit in h Meter tiefe. Die Helligkeit nimmt pro Meter um 20% ab. Die Abgeleitete Formel davon: $\begin{eqnarray} I_{h} = I_{0} 0,80^h \end{eqnarray}$ Wie leite ich dies so ap ? Warum ist es so richtig ? b.) In welcher Tiefe ist die Helligkeit auf die hälfte des Wertes an der Oberfläche gesunken ? $\begin{eqnarray} I_{h} = I_{0}/2 * 0,80^h \end{eqnarray}$ Warum ist diese Formel richtig ? Warum 0,80 und nicht 1 ? Da wir ja auf der Oberfläche anfangen und nicht 1 Meter darunter ? c.) In welcher Tiefe ist die Helligkeit auf 1/10 des Wertes an der Oberfläche gesunken ? $\begin{eqnarray} I_{h} = I_{0}/10 * 0,80^h \end{eqnarray*}$ lg
24.05.2012, 09:42	srolle	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst würde ich I(h), also die Lichtstärke I in Abhängigkeit von der Tiefe h, schreiben und folglich auch I(0). $\begin{eqnarray} I(h)= I(0)\cdot 0,8^{h} \end{eqnarray}$ Das könnte man nun noch zu $\begin{eqnarray} I(h)= I(0)\cdot e^{ln(0,8)\cdot h} \end{eqnarray}$ umformen mit Hilfe der Logarithmen- bzw Potenzgesetze. zu a) Wie bist du denn auf deine Funktion gekommen? Wir wählen zunächst als allgemeine Funktionsgleichung: $\begin{eqnarray} I(h)= I(0)\cdot e^{a\cdot h} \end{eqnarray}$ wobei a der Zerfallsfaktor ist. Da die Helligkeit I(h) pro Meter um 20% abnimmt, heißt dass, das für jeden weiteren Meter die Helligkeit I(h) lediglich noch 80% der Helligkeit des vorherigen Meters entspricht. Also $\begin{eqnarray} \frac{I(h+1)}{I(h)}=0,8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{I(0)\cdot e^{a\cdot (h+1)}} {I(0)\cdot e^{a\cdot h}} = 0,8\Rightarrow \frac{e^{a\cdot h+a}}{e^{a\cdot h}}=0,8 \Rightarrow e^{a}=0,8 \Rightarrow a = ln(0,8) \end{eqnarray}$ Womit wir die Funktionsgleichung von oben erhalten, wenn wir dieses a einsetzen . Um deine Frage zu klären, wie man das ableitet. Wie leitet man denn die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=c\cdot e^{b\cdot x} \end{eqnarray}$ ab?
26.05.2012, 12:18	Tipso	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich darf bei dieser Aufgabe nicht auf die Eulerische Zahl erweitern. Was es natürlich erleichtert. Jedoch sind wir noch nicht soweit.
28.05.2012, 15:05	Tipso	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne auf e zu erweitern ist die Lösung der Aufgabe nicht möglich ? lg
28.05.2012, 15:16	srolle	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, ist sie. zu a) Ableitungsregeln sind dir bekannt? Und wieso das richtig ist, du bist doch selbst darauf gekommen, also müsste dir das doch klar sein? b) $\begin{eqnarray} I(h) = \frac{I(0)}{2} \Rightarrow \frac{I(0)}{2}= I(0)\cdot 0,8^{h} \end{eqnarray}$ und jetzt nach h auflösen. c) falsch.
28.05.2012, 15:34	Tipso	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, a.) wir haben es in der Schule gemacht, ich kann es nicht nachvollziehen weshalb ich nachfrage. b.) Das Ergebnis müsste: $\begin{eqnarray} I_{h} = I_{0}/2 0,80^h \end{eqnarray}$ sein. Laut deiner Aussage, ist es aber: $\begin{eqnarray} I(h) = \frac{I(0)}{2} \Rightarrow \frac{I(0)}{2}= I(0)\cdot 0,8^{h} \end{eqnarray}$ und jetzt nach h auflösen. verwirrend. c.) $\begin{eqnarray} I_{h} = I_{0}* 0,80^1/10 \end{eqnarray*}$ vll. so richtig ? lg
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30.05.2012, 17:42	Tipso	Auf diesen Beitrag antworten »
Nr. 3 fehlt mir noch dringend...

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