arctan(x) z.z.: stetig, streng mononton wachsend, diffbar

24.05.2012, 10:24	misterfopper	Auf diesen Beitrag antworten »
arctan(x) z.z.: stetig, streng mononton wachsend, diffbar Hallo, Es sei $\begin{eqnarray} f: \left(\frac{-\pi }{2}, \frac{\pi }{2} \right) -> \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} f(x) = tan(x) \end{eqnarray}$ . Dann ist die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1} : \mathbb R -> \left(\frac{-\pi }{2}, \frac{\pi }{2} \right) \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} f^{-1} = arctan(x) \end{eqnarray}$ . Ich will jetzt zeigen, dass die Umkehrfunktion arctan(x) 1. stetig 2. streng monoton wachsend 3. differenzierbar ist. Meine Überlegungen: zu 2. streng monoton wachsend wäre $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ doch gerade dann, wenn $\begin{eqnarray} (f^{-1})' \end{eqnarray}$ positiv ist ?!? zu 1. und 3. : wenn arctan(x) diffbar ist, dann auch stetig, oder?
24.05.2012, 17:16	Bahamas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr habt nicht zufällig mal bewiesen, dass aus der Monotonie, Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion jeweils auch die Monotonie, Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion folgen?
25.05.2012, 10:14	misterfopper	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich glaube nicht sonst könnte ich das ganze ja einfach mit tan machen... wie kann ich das am besten anders zeigen?
25.05.2012, 11:06	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt ja bekanntlich $\begin{eqnarray} \arctan x =\int_0^x \frac {dt}{1+t^2} \end{eqnarray}$ Daraus sollten eigentlich alle obigen Eigenschaften leicht folgen...

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