Knickfreie Verbindung zweier linearer Funktionen mit kubischer Funktion

24.05.2012, 18:55	Ahnungsloser1	Auf diesen Beitrag antworten »
Knickfreie Verbindung zweier linearer Funktionen mit kubischer Funktion Meine Frage: Die Aufgabe lautet: "Bestimmen Sie die Funktion g2(x), so dass der Übergang bei x=-2 und x=1 glatt ist." Funktionen sind schon da. g1(x)=x+2 g3(x)=2x-2 g2(x)=a3x^3+a2x^2+a1x+a0 g'2(x)=3a3x^2+2a2x+a1 Meine Ideen:* Leider habe ich selbst wirklich keine Ahnung, wie ich das knickfrei berechnen soll, sitze auch schon 2 Stunden an der Aufgabe und mir raucht der Kopf. Ich finde nichts im Internet, wo wirklich erklärt wird, wie genau man jetzt verfahren würde, um irgendwie auf eine Funktion zu kommen, nachdem man die Matrix aufgestellt hat. Auch weiß ich nicht, wie genau man jetzt die Matrix aufstellen soll, wie also X- und Y berechnet werden sollen usw. ... Ich hoffe, dass das nicht zu wenig Infos sind und jemand helfen kann.
24.05.2012, 19:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff "glatt" beinhaltet zwei Dinge: Funktionswerte an den Übergangsstellen stimmen überein (Stetigkeit) und Ableitungen an den Übergangsstellen stimmen überein (Differenzierbarkeit). Für die Stelle $\begin{eqnarray} x=-2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} g_1(-2) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_1'(-2) = 1 \end{eqnarray}$ . Das soll nun auch für die Funktion $\begin{eqnarray} g_2 \end{eqnarray}$ gelten. So bekommst du zwei Bedingungen: $\begin{eqnarray} g_2(-2) = 0 \ \ \text{und} \ \ g_2'(-2) = 1 \end{eqnarray}$ Eingesetzt bekommst du zwei lineare Gleichungen in $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ . Und bei der Stelle $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ geht es analog, so daß du zwei weitere lineare Gleichungen in $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ erhältst. Zu lösen ist letztlich ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen in vier Unbekannten.
24.05.2012, 20:29	Ahnungsloser1	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir wurde (zum Glück) jetzt einfach bis zur Lösung geholfen (man, bei mir war da irgendwie der Wurm drin!) ______________________ 1.) Das ist gegeben: g1(x)=x+2 P1(-2\|0) g3(x)=2x-2 P2(1\|0) g2(x)=a3x^3+a2x^2+a1x+a0 2.) g1(x) und g3(x) sind gegeben, g1, g2 und g3 müssen abgeleitet werden. g1'(x)=1 g3'(x)=2 g2'(x)=3a3x^2+2a2x+a1 3.) Die Ableitungen von g1 und g3 werden mit g2' gleichgesetzt, die jeweiligen zugehörigen x-Werte der Punkte eingefügt. 1=3a3(-2)^2+2a2(-2)+a1 2=3a3(1)^2+2a2(1)+a1 4.) Aus den zwei Punkten P1(-2\|0) und P2(1\|0) werden ebenfalls kubische Funktionen geformt. 0=a3(-2)^3+a2(-2)^2+a1(-2)+a0 0=a3(1)^3+a2(1)^2+a1(1)+a0 5.) Alles wird in einer Matrix eingesetzt und ausgerechnet. I. 0=a3(-2)^3+a2(-2)^2+a1(-2)+a0 II. 0=a3(1)^3+a2(1)^2+a1(1)+a0 III. 1=3a3(-2)^2+2a2(-2)+a1 IV. 2=2=3a3(1)^2+2a2*(1)+a1 Die dabei rauskommende Funktion lautet g2(x)=1/3x^3+2/3x^2-1/3x-2/3 Damit hat man nun eine knickfreie Verbindung zwischen den zwei Funktionen g1(x) und g3(x). Turboplot geprüft

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