Binomialkoeffizient in der Stochastik

24.05.2012, 20:33

Sabine03

Binomialkoeffizient in der Stochastik

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

eigentlich kommte ich mit dem Binomialkoeffizienten immer etwas anfangen. "n über k" beschreibt die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.

Nehmen wir an, ich habe eine Urne mit 7 Kugeln, 3 schwarze und 4 weiße. Ich möchte nun, wenn ich 4mal ziehe, 2 weiße und 2 schwarze erhalten. Zeichne ich ein Baumdiagramm, so gibt es offensichtlich 6 verscheidene Pfade, also 6 Verschiedene Reihenfolgen, diese Kugeln zu ziehen.

"4 über 2" = 6
Aber wieso? Ich habe eine 4elementige Menge und berechne damit die Anzahl der 2elementigen Teilmengen, aber was sind denn hier meine 2elementigen Teilmengen?

Ich hoffe, ich konnte meine Frage klar formulieren, wenn nicht, so gebt Bescheid und ich versuch es nochmal Augenzwinkern

Meine Ideen:
Meine Ansätze sind in dem Text oben mit drinnen, auch wenn es nicht so viel ist. Handelt sich ja auch mehr um eine Verständnisfrage Augenzwinkern

25.05.2012, 00:38

Dopap

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hier muss man etwas vorsichtig mit den Begriffen sein.
Das Ziehungsgerät ( mit Zurücklegen ) ergibt eine Binomialverteilung.

d.h $\begin{eqnarray*} p=\frac 37 \end{eqnarray*}$ für weiss= Treffer.

Für die gewünschte Bernoulllikette ist $\begin{eqnarray*} p=( \frac 37 )^2 (\frac 47)^2 \end{eqnarray*}$

Nun ist aber die Reihenfolge der Ereignisse nicht von Interesse.

Man fragt jetzt nach der Anzahl der Permutationen dieser Kette und kommt auf:

$\begin{eqnarray*} Perm(w=2,s=2)= \frac {4!}{2! 2!}=6 \end{eqnarray*}$

das ist aber auch zufällig (?) = $\begin{eqnarray*} \binom 4 2 \end{eqnarray*}$

Du kannst dir das aber auch so erklären:

Von den 4 möglichen Plätzen für 2 weisse Kugeln Kugeln gibt es $\begin{eqnarray*} \binom 4 2 \end{eqnarray*}$

Möglichkeiten.

25.05.2012, 06:59

Sabine03

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Aha, super, danke!

Würde ich mir also 3 schwarze und 2 weiße wünschen, wäre die Anzahl der Permutationen 5!/(2!3!), richtig?

Dies ist doch aber wieder der Binomialkoeffizient 5 über 2. Wodrin liegt eigentlich genau der Unterschied von einer Kombination und einer Permutation?

Hätte ich 10 Kugeln, 3 rot, 4weiß, 3 schwarz, dann wäre die Permutation 10!/(3!4!3!), oder? Das würde dann keinem Binomialkoaffizienten entsprechen.

25.05.2012, 18:23

Dopap

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Zitat:

Original von Sabine03

Würde ich mir also 3 schwarze und 2 weiße wünschen, wäre die Anzahl der Permutationen 5!/(2!3!), richtig?

richtig.

Zitat:

Dies ist doch aber wieder der Binomialkoeffizient 5 über 2. Wodrin liegt eigentlich genau der Unterschied von einer Kombination und einer Permutation?

oder = $\begin{eqnarray*} \binom 5 3 \end{eqnarray*}$ , je nach dem ob ich schwarze oder weisse Kugeln als Treffer ansehe.

Unterschied? Permutationen behandelt alle Fälle von Vertauschungen auch von ununterscheidbaren Objekten. Auch bei mehr als 2 Gruppen.
Kombinationen behandelt schlichtweg die Frage der k-Elementigen Teilmengen einer Menge

Zitat:

Hätte ich 10 Kugeln, 3 rot, 4weiß, 3 schwarz, dann wäre die Permutation 10!/(3!4!3!), oder? Das würde dann keinem Binomialkoaffizienten entsprechen.

genau so ist es. Denk an Bi(!)nomialkoeffizient.

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Erlaubt man mehr als 2 Gruppen, dann bräuchte man den Polynomialkoeffizienten. Dieser wäre aber gerade die Permutation wie von dir oben angesprochen.
Die Verteilung heisst dann Polynomialverteilung.

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