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Elian Auf diesen Beitrag antworten »
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Ich versuche die Fragen (welche meist als Aussagen getarnt sind) so zu stellen, dass ein einfaches Ja oder Nein genügt.
Falls mir das nicht reicht frage ich nochmal nach, also bitte lieber zu wenig als zu viel Hilfe geben.
Danke

Anmerkung:
Habe da ein kleines Problem, komme nicht auf die exakt selbe Lösung wie in meiner Mitschrift.Laut Probe mit =Nullvektor habe ich einen Fehler gemacht, irgendwo während dem Gauß oder danach beim Rückwärts auflösen.

Habe aus den Vektoren bis mit =Nullvektor ein LGS erstellt und nach dem Gauß-Verfahren gelöst.
Die letzte Zeile des Gauß besteht nur aus nullen, dort habe ich willkürlich für gesetzt.
Lösungsmenge für den Span{(2/3, 1, 3/2, 1)transponiert}.

Die Vektoren lauten:
=(3, 0, -3, 6)transponiert
=(0, 2, 3, 1)transponiert
=(0, -2, -2, 0)transponiert
=(-2, 1, 2, -5)transponiert


Aber noch paar Fragen.
Ich soll entscheiden, ob im span() liegt.
Darunter verstehe ich dass zusammen einen "Raum" aufspannen und ob an diesem "Raum" etwas ändert oder nur so innerhalb dieses "Raumes" zeigt.
Sprich, ob als Linearkombination von darstellbar ist.
Jetzt ist ja sowie beides gleich (=1 in meinem Bsp.). Wäre die Aufgabenstellung anders, hätte ich ja ebenso rauswerfen können und die Basis wäre , und .

=Nullvektor sagt doch im Prinzip, dass die Vektoren derart in verschiedene Richtungen zeigen, dass durch die Skalierung mit dem Lambdas sie sich gegenseitig aufheben können (Nullvektor).
Als Gegeneispiel 3 Vektoren n der Ebene die vom Ursprung aus alle drei in einen oder maximal zwei benachbarte Quadranten zeigen, d.h. alle 3 Vektoren zeigen nur in eine Richtung der x- oder y-Achse. Es fehlt also ein Vektor, der in die andere Richtung der x- oder y-Achse zeigt, so dass man durch entsprechende Skalierung die "Kräfte" ausgleichen kann.
Ähnlich bei einem Mast der gegen Wettereinflüsse über Stahlseile in verschiedene Richtungen im Boden verankert wird. Wenn alle Stahlseile in ungefähr die selbe Richtung zeigen ist dem Mast auch nicht geholfen und wir schaffen nur den Nullvektor wenn alle Lambda gleich 0 (analog Stahlseile kappen.

Das andere was mir =Nullvektor verraten kann ist, wenn dort wie in diesem Bsp. ein Lambda gleich dem anderen ist, ja was heißt das dann eigentlich?
Hier stürzt mein Kartenhaus immer wieder ein. Kann mir diese Formel eigentlich mehr über die Vektroren sagen als die Möglichkeit des Nullvektors? Zum Beispiel wie angenommen die Richtung?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

und damit sollte alles klar sein, denn diese 4 Vektoren liegen in einem 3 dimensionalen Teilraum.

Man kann die Gleichung nach jedem der 4 Vektoren umstellen. Welche Werte die Koeffizienten annehmen, verrät uns im allgemeinen nicht sehr viel. Wenn wir so wie hier stets negative Koeffizienten haben, liegt der Nullpunkt in einem "Tetraeder" (bei geeigneter Skalierung), und die Vektoren zeigen in die 4 "Ecken".
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen der Anmerkung zu dem Fehler den ich gemacht habe:
Habe vertauschen von zwei Zeilen des Gauß (für obere Dreiecksform) einen Flüchtigkeitsfehler gemacht und für Lambda_2 einen falschen Wert übertragen.

Zitat:
Original von Elvis
und damit sollte alles klar sein, denn diese 4 Vektoren liegen in einem 3 dimensionalen Teilraum.

Man kann die Gleichung nach jedem der 4 Vektoren umstellen. Welche Werte die Koeffizienten annehmen, verrät uns im allgemeinen nicht sehr viel. Wenn wir so wie hier stets negative Koeffizienten haben, liegt der Nullpunkt in einem "Tetraeder" (bei geeigneter Skalierung), und die Vektoren zeigen in die 4 "Ecken".


Das mit dem Tetraeder ist einleuchtend. Wenn alle Vektoren in ungefähr weg voneinander zeigen, hat mein Joghurt (Körper) 4 Ecken und kann eben sein oder nicht, in dem Fall hat er 4 Flächen.
Das mit dem Teilraum verstehe ich nicht. Da sind doch 4 Dimensionen, wie kann man das auf einen 3-D-Raum zurückführen? Ich nehme an mit der 4. Dimension, der Zeit, hat das rein garnichts zu tun.

Danke für die Antwort
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Dimensionen und Teilräumen ist ganz einfach an einem Beipiel darzustellen. In einem 3-dimensionalen Raum findest du Ebenen durch den Nullpunkt, das sind 2-dimensionale Teilräume und Geraden durch den Nullpunkt, das sind eindimensionale Teilräume und den Nullpunkt, das ist der einzige 0-dimensionale Teilraum. Genau so gibt es in einem n-dimensionalen Raum (n-1)-dimensionale Teilräume, (n-2)-dimensionale Teilräume, ..., 1-dimensionale Teilräume und den Nullpunkt.
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auf der logischen Ebene verstehe ich das.
Aber beim Abstrahieren bekomme ich Probleme.
Hier haben wir ja 4 4-D-Vektoren, was man sich bildlich nicht vorstellen kann, 3 dieser Vektoren (entweder Vektor 2 oder Vektor 4 rauswerfen glaube ich) spannen einen 3-D Unterraum auf, das können wir uns vorstellen.
Ich verstehe auch, dass man dank mathematischer Verfahren die Form und weitere Eigenschaften dieses Unterraums bestimmen/definieren kann.

Ich danke dir für die Antwort. Diese Definitionen kenne ich zwar von den Vorlesungen, aber du hast mich genau da abgeholt, wo man sich selbst mit dem Thema auseinandersetzt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, doch, doch ... man kann sich das völlig problemlos bildlich vorstellen. Der 3-dimensionale Vektorraum sind alle Tripel , der 4-dimensionale Raum sind alle Quadrupel , der 5-dimensionale Raum sind alle Quintupel und der n-dimensionale Raum sind alle n-Tupel .
Es gibt sogar eine wunderschöne bildlich geometrische Vorstellung mit "parallelen Koordinaten" (irgendwann (vor ca. 20 Jahren) und irgendwo (in Heidelberg oder Mannheim) habe ich den sehr sympatischen Professor Inselberg getroffen, der sich als Erfinder derselben vorgestellt hat). Siehe z.B. Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Parallele_Koordinaten .
Diese Darstellung findet man z.B. in "Spotfire" realisiert, womit ich mir gerne höherdimensionale Daten visualisiere. Nicht dass ich für ein Produkt werben möchte, aber schön und nützlich ist es doch : http://spotfire.tibco.com/ .
Descartes mit seinen senkrechtstehenden Koordinatenbildchen war nicht der einzige Mensch mit Phantasie.
Auch durch Projektionen lassen sich ein paar mehrdimensionale Gebilde darstellen, sieh z.B. hier : http://de.wikipedia.org/wiki/4D
 
 
Elian Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war icht untätig und habe die letzten Tage gegrübelt über die höheren Dimensionen und Veranschaulichungsmöglichkeiten. Beeindruckend was wir nicht alles konstruieren können, alles natürlich mit seinen eigenen Regeln, die gelten müssen.
Das Dreiecksdiagramm hat mich zusammen mit Versuchen eines Vier- und Fünfecksdiagramms einige Abende wach gehalten.

Aber zurück zu der "Alltagsmathematik".
Es fällt auf, dass Matrizen mit der Determinante=0 nicht eindeutig lösbar sind.
Dies ist eine Eigenschaft die man dank Laplace'schem Entwicklungssatz relativ einfach herausfinden kann.
Det(A)=0 sagt uns sehr viel.
Man kann die Matrix a in keiner Weise auf die Dreiecksform (Einheitsmatrix) bringen, was einiges zur Folge hat:
Es existiert keine Inverse, deutlich wird das, wenn man es mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus versucht, für den man ja die eine Seite genau in die Einheitsmatrix überführen muss.
Die Existenz eines Kerns ist nicht ausgeschlossen. Die Dreiecksform würde nämlich mit Ax=0 dazu führen, dass x=0 (Nullvektor) und der ist ja ausgeschlossen. Bin mir aber grad nicht sicher, ob damit ein Kern existieren muss oder nur kann.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, genau dann wenn die Matrix invertierbar ist, genau dann wenn der Kern der zu gehörigen linearen Abbildung der Nullraum ist.
, dann ist nicht invertierbar und der Kern der zu gehörigen linearen Abbildung ist ein Untervektorraum (das beweist man mit dem UVR-Kriterium).
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