Überauflösbare bzw. nilpotente Gruppen

24.05.2012, 19:24	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Überauflösbare bzw. nilpotente Gruppen Hallo, hänge grade an drei Punkten, die ich jetzt einfach mal in einen Thread packe, da es denk ich schon zusammenpassende Themengebiete sind. 1.Frage $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist eine superauflösbare bzw. überauflösbare Gruppe (d.h. es gibt eine Normalreihe $\begin{eqnarray} K_0=\{1_G\}<K_1< \dots <K_n=G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K_{i+1}/K_i \end{eqnarray}$ ist zyklisch $\begin{eqnarray} \forall i \end{eqnarray}$ ). Wie zeige ich, dass G endlich erzeugt ist? 2.Frage: $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist eine nilpotente Gruppe (d.h. es gibt eine Normalreihe $\begin{eqnarray} Z_0=\{1_G\}<Z_1< \dots <Z_n=G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Z_{i+1}/Z_i = Z(G/Z_i) \quad \forall i \end{eqnarray}$ ) und $\begin{eqnarray} H<G \end{eqnarray}$ eine Untergruppe. Wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ auch nilpotent ist? 3.Frage: Gibt es eine "berühmte" Gruppe die isomorph zu $\begin{eqnarray} (\mathbb Z /2 \mathbb Z)^3 \end{eqnarray}$ ist? Meine Ideen bisher: 1.Frage: Ich behaupte, dass $\begin{eqnarray} G= \langle g_1, \ldots ,g_{n} \rangle \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} K_{i+1}/K_i = \langle \overline{g_i} \rangle \end{eqnarray}$ . Jetzt dachte ich, dass ich das ganze per Induktion nach n beweise. n=1 ist klar, denn $\begin{eqnarray} G=K_1/K_0= \langle g_1 \rangle \end{eqnarray}$ Der Induktionsschritt macht mir etwas Sorgen. Ich dachte mir hier, ich betrachte die Projektion $\begin{eqnarray} \pi: \langle g_1, \ldots , g_{n} \rangle \longrightarrow K_n/K_{n-1} \end{eqnarray}$ als Projektion auf die letzte Komponente $\begin{eqnarray} g_{n} \end{eqnarray}$ . Die Abbildung ist ein Homomorphismus und surjektiv, d.h. nach dem 1.Isomorphiesatz, dass $\begin{eqnarray} \langle g_1, \ldots , g_{n} \rangle/K_{n-1} \cong K_n/K_{n-1} \end{eqnarray}$ wobei hier $\begin{eqnarray} K_{n-1}= \langle g_1, \ldots , g_{n-1} \rangle \end{eqnarray}$ . Ich weiß auch, dass $\begin{eqnarray} K_{n-1} = \langle g_1, \ldots , g_{n-1} \rangle \subset K_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle g_n \rangle \subset K_n \end{eqnarray}$ . Jetzt die Frage: Genügt das um daraus zu folgern, dass $\begin{eqnarray} K_n= \langle g_1, \ldots , g_{n} \rangle \end{eqnarray}$ und ist das, was ich geschrieben habe überhaupt richtig? 2.Frage: Betrachte hier $\begin{eqnarray} H_i := H \cap Z_i \triangleleft H \end{eqnarray}$ (dass es ein Normalteiler ist hab ich zeigen können. D.h. ich bekomme eine neue Normalreihe $\begin{eqnarray} H_0 < \ldots < H_n=H \end{eqnarray}$ . Jetzt will ich eben die Bedingung dafür zeigen, dass die Untergruppe nilpotent ist, d.h. ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray} H_{i+1}/H_i = Z(H/H_i) \quad \forall i \end{eqnarray}$ Hier hab ich aber keine rechte Idee, wie ich das anstellen soll. Wahrscheinlich stehe ich auch nur auf der Leitung, aber ich seh es einfach nicht. Wäre super, wenn mir jemand ein paar Anregungen geben könnte! Vielen Dank Mandelbrötchen

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