Arithmetische Zahlenfolgen - Induktion

24.05.2012, 22:08

thechus

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Arithmetische Zahlenfolgen - Induktion

Liebes Forum,

ich möchte

$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d \end{eqnarray*}$

durch vollständige Induktion beweisen.

Dabei habe ich folgenden Ansatz:

1. Induktionsanfang
$\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1} = a_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1} = a_{1} + (1 - 1) \cdot d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{1} = a_{1} \end{eqnarray*}$ <- Korrekt, also ist die Formel für n = 1 richtig.

2. Induktionsschluss
Annahme, dass n = k wahr ist:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + (k - 1) \cdot d \end{eqnarray*}$

3. Induktionsbehauptung
Formel gilt auch für n = k + 1:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + (k + 1 - 1) \cdot d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + kd \end{eqnarray*}$ (Stimmt das?)

4.Induktionsbeweis
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + (k - 1) \cdot d + (k + 1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + kd - d + (k + 1) \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht. Und ich denke auch, dass mein Ansatz beim Induktionsbeweis falsch ist. verwirrt

verwirrt

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

Danke und Gruß,
thechus

Edit: Autsch - das hätte in die Algebra gemusst ... geschockt

geschockt

25.05.2012, 00:46

Helferlein

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Wie ist dein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ denn genau definiert?
Ohne das zu wissen ist der ganze Beweis hinfällig.

Ein Induktionsbeweis besteht aber niemals aus vier Punkten, es sind grundsätzlich nur drei. Zwar gibt es hier unterschiedliche Bezeichnungen, aber das ändert nichts an dem Aufbau:

1) Zeige die Aussage für ein bestimmtes n (Induktionsanfang/-verankerung)
2) Nimm an, die Aussage ist für ein n bereits bewiesen. (Induktionsvoraussetzung/-annahme)
3) Zeige unter Ausnutzung von 2), dass die Aussage auch für n+1 gültig ist. (Induktionsschluss)

25.05.2012, 08:56

thechus in school

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Hmm okay...

Definition

$\begin{eqnarray*} a_{n} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist das Ergebnis einer arithmetischen Reihe. Dem Grundwert $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ wird ein konstanter Wert $\begin{eqnarray*} (n -1) \cdot d \end{eqnarray*}$ hinzuaddiert.
Das scheint mir aber falsch bzw. ungenau zu sein.

Der Induktionsschluss scheint überflüssig zu sein....

Was ich aber nicht verstehe ist wie ich durch den Induktionsbeweis

$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + (k - 1) \cdot d + (k + 1) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + dk \end{eqnarray*}$

kommt verwirrt

verwirrt

Grrrr...

Aber danke für deine Hilfe.

Gruß,
thechus

25.05.2012, 09:09

klarsoweit

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Um nochmal den Hinweis von Helferlein aufzugreifen: dein grundsätzliches Problem ist, daß du an keiner Stelle genau definierst, was a_n sein soll. Solange du das nicht machst, ist alles weitere obsolet.

Eine mögliche Definition wäre $\begin{eqnarray*} a_n = a_{n-1} + d \end{eqnarray*}$ . Aber wie gesagt: das mußt du offenlegen.

25.05.2012, 16:57

thechus

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Hey,

Hmm... da ist iwo. der Wurm drinne.

Ich werde mal eine andere Aufgabe posten, die ich selbst berechnet hatte.
Da scheint alles richtig zu sein.

Vllt. kann man mir durch Vergleich der beiden Aufgaben weiterhelfen ...

Aufgabe:

Fuer alle natuerlichen Zahlen n > 0 gilt:
$\begin{eqnarray*} s_{n} = 1 + 2 + 3 +... + n = \frac{n(n + 1)}{2} \end{eqnarray*}$

Beweis durch vollständige Induktion:

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Behauptung: Fuer alle n > 0 gilt $\begin{eqnarray*} s_{n} = \frac{n(n + 1)}{2} \end{eqnarray*}$

Beweis:

Annahme, dass Formel für n = 1 gültig ist:

$\begin{eqnarray*} n = 1 , s_{1} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} also: s_{1} = \frac{1(1 + 1)}{2} = 1 Korrekt \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

Voraussetzung, dass n = k gilt:

Also : $\begin{eqnarray*} s_{k} = 1 + 2 + 3 +... + k = \frac{k(k + 1)}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung:

Formel gilt auf fuer den Nachfolger von k gilt - also fuer $\begin{eqnarray*} n = k + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_{k+1} = 1 + 2 + 3 +... + k + (k+1) = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \end{eqnarray*}$

Prüfen:
$\begin{eqnarray*} Also: s_{k} = 1 + 2 + 3 +... + k + (k + 1)= \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{2(k + 1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{k(k + 1) + 2(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{k² + k + 2k + 2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \end{eqnarray*}$ Korrekt

Das scheint doch richtig zu sein.
Was habe ich denn hier anders gemacht?
Ich soll da vermutlich die Induktionsbehauptung falsch aufgestellt haben? Ich blick da leider momentan nicht durch.

Danke für eure Geduld

Liebe Grüße,
thechus

25.05.2012, 17:53

Helferlein

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Der Unterschied ist einfach der, dass Du hier

Zitat:

Original von thechus
$\begin{eqnarray*} s_{n} = 1 + 2 + 3 +... + n \end{eqnarray*}$

eine klare Definition der Folge hast, zu der Du dann eine explizite Formel beweisen sollst. Das ist in deiner Aufgabe oben nicht der Fall. Da steigst Du gleich mit einer Behauptung ein, die ohne die Definition nicht klar ist.

Um es vielleicht noch mal etwas deutlicher zu machen:
Wenn ich behaupte $\begin{eqnarray*} a_n=a_1+n^2 \end{eqnarray*}$ dann ist diese Aussage wertlos, solange ich nicht weiss, was $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ überhaupt ist.
Anderes Beispiel: Wenn ich x=5 behaupte, muss ich wissen, was das x ist, um entscheiden zu können, ob die Aussage stimmt. Erst wenn ich x als Lösung der Gleichung 3(x-5)=0 definiere, kann ich nachweisen, dass die Aussage x=5 korrekt ist. Soll x aber Lösung von sin(x)=2 sein, dann ist die Aussage garantiert falsch.

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25.05.2012, 18:09

thechus

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Achja!

Klar.

Es gilt ja :

$\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = a_{n} + d \end{eqnarray*}$

Dann gilt zb:

$\begin{eqnarray*} a_{2} = a_{1} + d; a_{3} = a_{2} + d = a_{1} +2d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{5} = a_{4} + d = a_{1} + 4d ..... \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{n - 1} + d \end{eqnarray*}$

So weit hab ich's jetzt... Danke. Big Laugh

Big Laugh

Aber ich bin grad völlig durcheinander.
Wie ändert sich dadurch denn meine Rechnung? verwirrt

verwirrt

Edt: Daraus stammt ja die Vermutung:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + (n -1)d[ \end{eqnarray*}$

Gruß,
thechus

25.05.2012, 18:18

Helferlein

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Gut jetzt haben wir endlich etwas handfestes.
Diese Rekursionsgleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_{n} + d \end{eqnarray*}$ musst Du im Induktionsschluss nutzen.
Denn neben der Tatsache, dass deine Formel für n gilt, ist es das einzige, was Du als bekannt voraussetzen kannst.

25.05.2012, 22:03

thechus

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Stimmt.

Hmm...

Aber wie setze ich das jetzt ein?

Das scheint mir echt sehr durcheinander geraten zu sein.
Grrr... verwirrt

verwirrt

Nochmal ordentlich:

Aufgabe
Für alle Zahlen glt:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{n-1} + d = a_{1} + (n - 1)d \end{eqnarray*}$ <-- vllt fehler?
Die Rekursionsgleichung ergibt beim Induktionseinfang nicht 1.
Was ist eine Rekursionsgleichung eigentlich (Wissensdurst)

Voraussetzung:
$\begin{eqnarray*} n = \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Behauptung: Für alle Zahlen gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1} + (n - 1)d \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang
$\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n} = 1 ? \end{eqnarray*}$

Wenn ich 1 einsetze....
$\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{1-1} + d \neq 1 \end{eqnarray*}$ Mhhh...

Alternativ könnte man ja in
$\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = a_{n} + d \end{eqnarray*}$
einsetzen.

Da käme dann:
$\begin{eqnarray*} a_{1 + 1} = a_{1} + d \end{eqnarray*}$ <- Stimmt

Nur wüsste ich nicht wie ich $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = a_{n} + d \end{eqnarray*}$ in die Definition einbringen soll.
Dort lautet es ja $\begin{eqnarray*} a_{n} = ... \end{eqnarray*}$ und hier $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} =... \end{eqnarray*}$

Es tut mir unheimlich leid, dass ich mich hier grad so dumm anstelle.
Ich hatte 3 Tage kaum Schlaf und bereite mich momentan auf mein evtl. kommendes Juniorstudium vor.

Ich brauch die Aufgabe aber leider...

Ich Danke euch vielmals für eure Geduld und hoffe mich revangieren zu können

Ich sollte mich mal hinlegen.

Liebe Grüße,
thechus

25.05.2012, 22:16

thechus

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Ach...
Könnte es sein dass es garnicht 1 ergeben muss beim Induktionsanfang?

Da hat sich doch ein Fehler eingeschlichen..

$\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n}= ? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{1} = a_{0} + d = a_{1} + (1 - 1)d \end{eqnarray*}$ ... das ist doch eine wahre Aussage! Grrr...

So weiter...
Ich will auf:
$\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = a_{n} + d \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = a_{1} +(n -1) d + (n +1) \end{eqnarray*}$ ? Das scheint mir auch falsch zu sein.... Ach ich kann nichts mehr... ich schau morgen wieder rein.

Bis dann und Danke! Wink

Wink

Gruß,
thechus

26.05.2012, 12:52

Helferlein

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Du bist auf dem richtigen Weg, der Schluss stimmt aber noch nicht.

Ich fasse mal zusammen, was wir haben:

(1) Für n=1 gilt $\begin{eqnarray*} a_1=a_1+0\cdot d \end{eqnarray*}$

(2) Wir nehmen an, es wäre für ein bestimmtes n gezeigt worden, dass $\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)\cdot d \end{eqnarray*}$ .

(3) Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+d \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt Du smile

smile

Ach und eine Rekursiongleichung ist einfach nur eine Gleichung, die mehr als ein Glied der Folge enthält.

26.05.2012, 17:09

thechus

Auf diesen Beitrag antworten »

Dornrößchen ist erwacht...

hmmm...

Ich komme da auf die Ausgangsgleichung:

$\begin{eqnarray*} a_{n} + d = a_{1} + (n - 1)d + a_{n} + d \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das auflöse ergibt das nicht

$\begin{eqnarray*} a_{n} + d = a_{1} + dn \end{eqnarray*}$

Sondern:

$\begin{eqnarray*} a_{n} + d = a_{1} + dn + a_{n} \end{eqnarray*}$

Das ist zum verzweifeln.. andere Aufgaben dieser Art bekomme ich hin... nur hier platzt mir der Kragen............. böse

böse

Ich geb das nicht auf ._.

Sorry.......

Gruß,
thechus

26.05.2012, 21:43

Helferlein

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Woher hast Du das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auf der rechte Seite der ersten Gleichung?

26.05.2012, 21:49

thechus

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Zitat:

(3) Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = a_{n} + d \end{eqnarray*}$ gilt.

Das habe ich rechts addiert. verwirrt

verwirrt

Würde mich auch schwer interessieren wie man das weg bekommt geschockt

geschockt

Gruß,
thechus

26.05.2012, 21:51

Helferlein

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und wo hast Du dann die Induktionsvoraussetzung (2) benutzt?

26.05.2012, 21:54

thechus

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Hmm...

Ich habe (3) zu (2) addiert um auf den Beweis zu kommen. verwirrt

verwirrt

26.05.2012, 22:20

Helferlein

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Nein, hast Du nicht, zumindest nicht richtig.
Du hast nur auf der rechten Seite etwas ersetzt und addiert, das ist aber viel zu umständlich und in der Form auch falsch.
Hier ist nichts anderes als einfaches Einsetzen gefragt.

26.05.2012, 22:31

thechus

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Einfaches einsetzen?

Man entweder ich bin blind oder zu doof dazu ....

Was soll ich denn da wie einsetzen?

Bitte entschuldige meine Unwissenheit... grrr unglücklich

unglücklich

Danke un Gruß,
thechus

26.05.2012, 22:45

Helferlein

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Zitat:

Original von Helferlein

(2) Wir nehmen an, es wäre für ein bestimmtes n gezeigt worden, dass $\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)\cdot d \end{eqnarray*}$ .

Also gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+d=(...)+d=... \end{eqnarray*}$

26.05.2012, 22:54

thechus

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AHHH

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ich glaub's nicht ...

Ach ohne Worte.

DANKE dir!

Deine Geduld hat mir sehr geholfen.

Ohh man.... Freude

Freude

...

Bis zum nächsten Problem dann Big Laugh

Big Laugh

Gruß,
thechus

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