Normen nicht äquvalent

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SuperC17 Auf diesen Beitrag antworten »
Normen äquivalent
Meine Frage:


Meine Idee:
Ist die, eine Folge zu suchen die in der einen Norm gegen Null und in der anderen gegen 1 konvergiert.
Das sollte die Folge der Folgen, die 1 an der i-ten Stelle und Null an den anderen Stellen haben, (unendliche Einheitszeilen) leisten.
Für die erste Norm klappt das, weil das Supremum von einsen ist 1, also Sup((1,0,..),(0,1,0,..),...)=1.
In der zweiten Norm ist das Sup((1/2,0,0,0...), (0,1/4,0,0,0,...),...)=1/2? Was mache ich falsch, ich wäre dankbar wenn jemand mir weiterhelfen könnte.
SuperC17 Auf diesen Beitrag antworten »


an den Gott Latexfähigkeiten arbeite ich gerade
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Falls beide Normen äquivalent sind, stimmen Konvergenzaussagen zw. beiden Normen überein, denn geometrisch bedeutet es, dass sich ihre gegenseitig mit einem konst. Faktor schachteln lassen, konkrete Def. von 'Normen-Äquiv.' ...

Es gibt sodass gilt: für alle

Technisch bedeutet es, dass die 1-offenen Mengen sich als Vereinigung von 2-offenen Mengen darstellen lassen (und umgekehrt), kurz: die Topologien sind gleich ...

Klappt nur eine der Schachtelungen / Ungleichungen, ist dies ein Indiz für die Nicht-Äquiv. der Normen ...

HTH, ansonsten haben wir nur geübt.
____________

oE: statt allg. wg. der Homogenität von Normen
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag:
Was ich übersehen habe (du aber natürlich weisst) ... Was ist, entscheidet sich erst nach Bekanntgabe der Norm. Andererseits ist nur dann als Funktion wohldefiniert, falls eindeutige Zahlen als Bilder hat, d.h. man betrachtet eigentlich eine Teilmenge , wo dies der Fall ist.

Zu deinem Bsp.: Ist (?) ... (s.u.) - Nimm doch was leichtes bzgl. 2-Norm , dh. eine Folge mit , sodass die Konv. per gesichert ist. - Falls wir an das Gleiche denken, ist unbeschränkt ...

Falls bei dir , dann ist unschön. Für diesen Fall kenne ich
SuperC17 Auf diesen Beitrag antworten »
Norm nicht äquivalent
Erstmal danke für die schnelle Antwort, leider hilft sie mir so nicht viel weiter.
Gezeigt werden soll, dass die Normen nicht äquivalent sind Lehrer , vielleicht ist der
Titel meiner Frage ein wenig irrefuehrend gewesen Engel .
Also soll die gesuchte Folge erfüllen:
und .
Außerdem gab es einen Hinweis in der Aufgabe:
Hinweis: Vergleiche die beiden Normen auf der Menge der Zeilen der unendlichen Einheitsmatrix.

Das ist mein Ansatz: Mit dem Hinweis gehe ich davon aus, dass meine gesuchte Folge,
die Einheitszeilen als Folgeglieder hat.

Das heißt ich waehle eine Folge f, die selbst Folgen als Folgeglieder hat.
wobei e der i-te Einheitsvektor sein soll.
Die Folgeglieder sind Einheitsvektoren und damit beschraenkt weil sie alle
in der -Dimensionalen Einheitskugel liegen. Ich darf also die sup-Norm
anwenden.
Nun wende ich die Norm-1 auf meine Folge an und erhalte
. Das Supremum ist hier das Folgeglied dessen Supremum maximal ist. Das Sumpremum jeder "Einheitszeilenfolge" ist 1, daher gilt:
.

Nun wende ich die Norm-2 auf meine Folge an und erhalte
. Das Supremum ist die Folge deren
Supremum maximal ist. Die Suprema der ersten Folgen sind daher gilt:
. Der Limes superior waere 0 aber nach dem ist ja nicht gefragt, sondern nach dem sup und das ist 1/2 und nicht 0. verwirrt

So komme ich zu keinem Ergebnis und weiß nicht weiter. Wenn jemand mir hier helfen könnte, wäre ich dankbar darüber. Erstaunt1 Hilfe
SuperC17 Auf diesen Beitrag antworten »
Normen nicht äquvalent
Meine Frage:
Betrachte den Vektorraum aller konvergenten Folgen aus .
Zeige, dass die beiden Normen und

nicht äquivalent sind.

Meine Ideen:

Also soll die gesuchte Folge erfüllen:
und .
Außerdem gab es einen Hinweis in der Aufgabe:
Hinweis: Vergleiche die beiden Normen auf der Menge der Zeilen der unendlichen Einheitsmatrix.

Das ist mein Ansatz: Mit dem Hinweis gehe ich davon aus, dass meine gesuchte Folge,
die Einheitszeilen als Folgeglieder hat.

Das heißt ich waehle eine Folge f, die selbst Folgen als Folgeglieder hat.
wobei e der i-te Einheitsvektor sein soll.
Die Folgeglieder sind Einheitsvektoren und damit beschraenkt weil sie alle
in der -Dimensionalen Einheitskugel liegen. Ich darf also die sup-Norm
anwenden.
Nun wende ich die Norm-1 auf meine Folge an und erhalte
. Das Supremum ist hier das Folgeglied dessen Supremum maximal ist. Das Sumpremum jeder "Einheitszeilenfolge" ist 1, daher gilt:
.

Nun wende ich die Norm-2 auf meine Folge an und erhalte
. Das Supremum ist die Folge deren
Supremum maximal ist. Die Suprema der ersten Folgen sind daher gilt:
. Der Limes superior waere 0 aber nach dem ist ja nicht gefragt, sondern nach dem sup und das ist 1/2 und nicht 0. verwirrt

So komme ich zu keinem Ergebnis und weiß nicht weiter. Wenn jemand mir hier helfen könnte, wäre ich dankbar darüber. Erstaunt1 Hilfe
 
 
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Norm nicht äquivalent
Hab ich schon begriffen (Nicht-Äquivalenz). - Hierzu hatte ich konkret etwas ab 'Nimm doch was leichtes' ...


Aber OK. Wir nehmen die unendliche Einheitsmatrix ...

Es ist (zeilenweise) d.h. ist eine Nullfolge bzgl. ...

Andererseits ist für jedes und damit konvergiert NICHT gegen die Nullfolge


Äquivalente Normen haben jedoch gleiche Grenzwerte (deshalb hatte ich oben die Ungleichungen). - Daher sind die beiden Normen NICHT äquiv.

HTH
SuperC17 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Totto-GE, habe die Antwort erst nachträglich gelesen.
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Und es gibt noch eine ...
Läuft aufs gleiche raus ...

Meine Idee wäre die DiagonalMatrix gewesen mit Einträgen .
Wir hätten (zeilenweise) ... und .
Einmal beschränkt, einmal nicht. - Topologisch kann ich NUR einseitig schachteln. Damit wiederum NICHT-Äquivalenz nachgewiesen.
Wink
_____________

Mal sehen, was andere sagen ... Big Laugh
SuperC17 Auf diesen Beitrag antworten »
Totto-GE
Wink Danke für die Antwort Totto-GE:

Aber OK. Wir nehmen die unendliche Einheitsmatrix ...

Es ist (zeilenweise) d.h. ist eine Nullfolge bzgl. ...

Andererseits ist für jedes und damit konvergiert NICHT gegen die Nullfolge


Äquivalente Normen haben jedoch gleiche Grenzwerte (deshalb hatte ich oben die Ungleichungen). - Daher sind die beiden Normen NICHT äquiv.

Wieso gilt hier:
Es ist (zeilenweise) d.h. ist eine Nullfolge bzgl. ...

da steht doch
drum ist mir nicht klar warum es jetzt ist? Hammer
Ist es so, dass sich der Index i auf die Folgenlänge der Einheitszeilen bezieht? Dann Betrachtet man das Supremum Zeilenweise getrennt und 2^i wäre stets 2^n da alle Zeilen unendlich viele Folgenglieder haben, also . Danke im voraus.
SuperC17 Auf diesen Beitrag antworten »

hab deine Antwort mitverschoben. Mir ist einfach noch nicht ganz klar wieso es sich zeilenweise um eine Nullfolge handelt? Neuer Thread ist in
Normen nicht äquvalent
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normen nicht äquvalent
Hatte gehofft, du nimmst dir mehr Zeit. - siehe: threadid=492972

Und NEIN, es ist nicht nach dem der Matrix gefragt ...
Und JA, garantiert die Nullfolge in
Schreibt man Indizes hin wird es klarer ...

Warum ... die Zeile (= Folge) hat nur einen Eintrag und der wird durch geteilt

Ich bin an DIESER Stelle raus ...
SuperC17 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt sorry dass ich den Thread verschoben habe, aber hab die Antwort nicht verstanden. Darum frag ich ja immer weiter Big Laugh Deine Antwort hilft mir jetzt schon sehr. Wenn man limsup nimmt ist es ne Nullfolge, dass ist klar aber da steht doch nichts von limsup sondern sup. Ich denk nochmal drüber nach. Danke für die Hilfe
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Themen wurden zusammengeführt, Titel wird angepasst.
Bitte nicht selbstständig ein neues thema zur selben Frage beginnen.
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Denke bitte nach über 'wo bin ich' ...

Die Norm wird für Punkte definiert, nicht für Folgen aus . Ein ist so ein Punkt (in einem gewöhnungsbedürftigen Raum). Also hantiere ich mit diesen Punkten und der gängigen '-Argumentation' bzgl. Konvergenz- / anderen Aussagen wie (früher) in ... da gab es einen Betrag für die Punkte (damals Zahlen) und damit klappte auch die Folgen-Konvergenz.

Die hiesigen Normen getreffen also nur die Zeilen, wenn man sich das Gesamtkunstwerk 'Folge' in als Matrix vorstellt ...
Allerdings gib es irgendwann Räume, wo das 'Hineingucken' in Punkte sinnfrei ist, bzw. (wie hier) nur verwirrt ...

HTH
SuperC17 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab drüber nachgedacht, "wo bin ich" Willkommen Danke für die Geduld Freude
Ich darf die Punkte mal als unendlichdimensionalen Vektor sehen. Jede/r Punkt/Vektor/Zeile hat einen Eintrag.
Hier wird auch der BETRAG dieser Punkte/Vektoren/Zeilen nicht umsonst gefordert.
Die Konvergenz mittels der alten Definition lässt sich herleiten. Gott Das gilt sicherlich, denn n->oo. Es gibt eine Konvergenz innerhalb der zwei-Norm bzgl. der Punkte/Vektoren gegen Null. Unsere Norm liefert dann Null. verwirrt
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »

Das Spiel hast du noch nicht (ganz) verstanden.

Bei der Def. der Normen sind die ... also Zahlen, nicht Punkte aus und keine Zeilen aus .
Die Norm der n-ten Zeile (= Punkt) ist und das ist (wieder) eine Zahl.
Das Konvergenz-Ergebnis ist .
Wobei übrigens

Daher ...

Das Spiel 'wo bin ich' ...

Wir nehmen mal irgendeine Menge . Das erste ist die Frage, wie unterscheiden sich , also wann gilt . - Die 2-te Frage: Kann man mit den rechnen. Hier ist es ein Vektorraum (über einem Körper ), also ja. - Nächste Frage: Gibt es zusätzliche Stukturen ? Ja, über eine Norm können wir zusätzlich topologische Fragen (wie weit) stellen / lösen (durch diese schachtelnden 'offenen' Mengen).

Es wird also Funktionen geben oder oder oder ... und nix davon ist ein Punkt aus . - Wir machen jedoch punktweise Aussagen über diese Funktionen ... Stetigkeit, Konvergenz, usw.

Und jetzt der Hammer. - Diese Funktionen weiss man zu unterscheiden und irgendwie kann man mit diesen rechnen (Gruppe, Ring, Vektorraum, ...) Nennen wir eine solche Menge einfach - Das Spiel beginnt von vorn (mind. 2 Fragen).

*hust* Was ist ein Punkt und wie sehen Folgen in aus ...
_____________

PS.: Vielleicht könnte ein Dritter etwas dazu sagen ?!
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