pi^2, weshalb?

25.05.2012, 08:48

mathrebell

lim (1/(n^2*sin^2(pi/n)) = 1/pi^2, weshalb?

Meine Frage:
Hallo,
ich muss für mein Proseminar Analysis einen ziemlich verrückten Beweis vorstellen, bei dem mir noch ein kleiner Schritt fehlt. Wenn ich den hätte, wär der Vortrag tausendmal besser Augenzwinkern

Und zwar allgemein ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^2*sin^2(\pi /n)} = \frac{1}{\pi^{2}} <br /> \end{eqnarray*}$ ,
warum gilt das?

Meine Ideen:
Hab es auch im Taschenrechner kontrolliert und es stimmt, aber ich komm einafch nicht drauf, wieso, und langsam läuft mir die zeit weg...

25.05.2012, 09:08

DHD

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Mache dir klar, dass es genügt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} n \sin (\frac{\pi}{n})= \pi \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Und das kann man ziemlich schnell über die Reihendarstellung des Sinus zeigen.

25.05.2012, 09:08

tmo

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Das ist einfach nur $\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x} \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$

25.05.2012, 09:10

zyko

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RE: lim (1/(n^2*sin^2(pi/n)) = 1/pi^2, weshalb?
Hallo,

Setze zunächst t:=1/n und lasse dann t-->0 gehen. Hast du schon man etwas von de L’Hospital gehört?

25.05.2012, 09:19

mathrebell

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Danke, für die schnellen Antworten smile

Also das mit der Reihendarstellung probier ich jetzt

Und zu timo´s Tip, also mein TR sagt aber den GW sin(1) und nicht 1 ...

Und L´Hospital hab ich auch schon probiert, bin aber irgendwie nicht weiter gekommen

25.05.2012, 09:22

mathrebell

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Habs aber jetzt mit L´Hospital, mit dem t := 1/n hats geklappt smile

Vielen Dank fürs Vortrag retten Big Laugh

25.05.2012, 09:26

zyko

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Hast du vor Anwendung des de L’Hospital dafür gesorgt, dass beim Grenzübergang $\begin{eqnarray*} \infty / \infty \end{eqnarray*}$ oder 0/0 entstünde.

25.05.2012, 09:31

mathrebell

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Ja, hab dann ja $\begin{eqnarray*} \lim_{ t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{t} \end{eqnarray*}$ also 0/0

25.05.2012, 09:31

Mystic

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Zitat:

Original von mathrebell
Und zu timo´s Tip, also mein TR sagt aber den GW sin(1) und nicht 1 ...

Dein TR hat recht... Big Laugh

Aber hätte man das nicht auch ohne ihn schon sehen können? verwirrt