affine Abbildung

25.05.2012, 14:18	circuela	Auf diesen Beitrag antworten »
affine Abbildung Meine Frage: Hallo liebes Mahe Board, ich bitte Euch mal wieder um Hilfe. Untersuche ob Abbildungen affin sind: a) $\begin{eqnarray} \Psi:\mathbf{R^2}\rightarrow\mathbf{R^2}, { x \choose y } \mapsto { x-y \choose x+y+1} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \Psi:\mathbf{R^2}\rightarrow\mathbf{R^2}, { x \choose y } \mapsto { x^2 \choose y} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a) es gibt eine Darstellende Matrix $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a & b \\ c &d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit- det. $\begin{eqnarray} \not=0 \end{eqnarray}$ . Dann existiert eine Darstellung mit einer speziellen Lösung $\begin{eqnarray} { x \choose y } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 &1 \end{pmatrix}{ x \choose y } +{ 0 \choose 1 } \end{eqnarray*}$ Diese Abbildung ist bijektiv. b) Da das Urbild von x^2 nicht eindeutig ist die Abbildung nicht bijektiv und auch keine affine Abbildung. Ist das so richtig? Dankeschön
25.05.2012, 14:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Die Darstellung ist richtig. Allerdings frage ich mich, warum Du auf die Bijektivität eingegangen bist. Eine affine Abbildung muss ja nicht bijektiv sein (z.B. $\begin{eqnarray} f(v)=v_0 \end{eqnarray}$ ) Ist das ein Teil der Aufgabe, den Du nicht erwähnt hast=? (Prüfen Sie, ob die Abbildung bijektiv ist) b) Hier kann ich keine Begründung erkennen, wieso das keine affine Abbildung ist. Wie eben ja schon erwähnt hat die Bijektivität nichts damit zu tun. Such Dir am besten ein Gegenbeispiel, um die nicht-affinität nachzuweisen.
26.05.2012, 10:54	circuela	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön!!! Das mit der Bijektivität war nicht gefragt. Da hab ich wohl was durcheinandergeworfen. Bei der b) komm ich trotzdem nicht weiter. Wenn ich die darstellende Matrix der Standardbasis nehme oder egal, welche Koeffizienten komme ich nie auf ein x^2 da das ja keine additive Verknüpfung ist, für die der Vektorraum definiert ist. Die Basisvektoren sind eindeutig bestimmt also kann an der Stelle eines Koeffizienten auch kein x stehen. Außerdem kann im R^2 der affine Unterraum ja bestenfalls eine Gerade sein oder bin ich da schon wieder auf dem Holzweg? Wie macht man das? Tut mir leid, daß ich so blöde Fragen stelle. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix}\not = \begin{pmatrix}x^{2} \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
26.05.2012, 12:44	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist inhaltlich ja alles richtig, aber warum wirst Du nicht einfach konkret anstatt drum herum zu reden? Angenommen es gäbe A und $\begin{eqnarray} v_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Psi(v)=Av+v_0 \end{eqnarray}$ . Betrachte dann $\begin{eqnarray} \Psi(1,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Psi(-1,0) \end{eqnarray}$ und folgere daraus einen Widerspruch.

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