Grenzwert einer Zahlenfolge nach Definition des Grenzwertes beweisen

25.05.2012, 16:12

Christian_P

Grenzwert einer Zahlenfolge nach Definition des Grenzwertes beweisen

zu beweisen ist, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}=1 \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt diese Definition des Grenzwertes: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \, \exists N(\epsilon)\! \in\mathbb{N}:\, \forall n>N (\epsilon) \; \left| a_n-a \right|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Ich muss also nun eine Zahl $\begin{eqnarray*} N=N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \, \exists N(\epsilon)\! \in\mathbb{N}:\, \forall n>N (\epsilon) \; \left| \frac{n}{n+1}-1 \right|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun hab ich die Ungleichung folgendermaßen umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{n}{n+1}-1 \right| = \left| \frac{n-(n+1)}{n+1} \right| = \left| -\frac{1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ Das Weglassen der Betragstriche weil, der Nenner ist ja immer positiv.

so nun habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}<\epsilon \end{eqnarray*}$ und ich stelle nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ um. Das ergibt $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{\epsilon}-1 \end{eqnarray*}$ .

So jetzt bin ich ein bisschen unsicher wie ich am besten weiter vorgehe.

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \left| \frac{n}{n+1}-1 \right|<\epsilon \end{eqnarray*}$ wird also durch $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{\epsilon}-1 \end{eqnarray*}$ erfüllt, richtig?

Jetzt nehme ich die Größte-Ganze-Funktion und gebe noch $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ dazu: $\begin{eqnarray*} n>\Bigg\lceil \frac{1}{\epsilon}-1\Bigg\rceil+1 \end{eqnarray*}$

und habe dann die gesuchte Zahl $\begin{eqnarray*} N=\Bigg\lceil \frac{1}{\epsilon}-1\Bigg\rceil+1 \end{eqnarray*}$ , von deren Existenz in der Def. die Rede ist, konstruiert?

edit: Aufrundenklammern geändert.

viele Grüße

25.05.2012, 16:44

weisbrot

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RE: Grenzwert einer Zahlenfolge nach Definition des Grenzwertes beweisen
jap, genau so. das ginge aber auch noch etwas "schöner": du musst da keine 1 addieren, wenn du eh aufrundest. außerdem wäre auch möglich: $\begin{eqnarray*} ... = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \leq \epsilon \quad \forall n \geq N_{\epsilon} := \Bigg\lceil \frac{1}{\epsilon}\Bigg\rceil \end{eqnarray*}$ -> und an dieser stelle solltest du auch die existenz einer derartigen zahl begründen, was du noch nicht getan hast; aber du weißt bestimmt wie. lg

25.05.2012, 16:55

Mystic

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RE: Grenzwert einer Zahlenfolge nach Definition des Grenzwertes beweisen

Zitat:

Original von weisbrot
jap, genau so. das ginge aber auch noch etwas "schöner": du musst da keine 1 addieren, wenn du eh aufrundest.

Er rundet ja nicht auf, sondern (mittels Gaußklammer [ ]) zuerst ab, bevor er 1 addiert... Alle diese scheinbaren "Verschönerungen" sind aber m.E. vollkommen unnötig, denn

$\begin{eqnarray*} n > \frac 1\epsilon -1 \end{eqnarray*}$

ist bereits vollkommen ok... Augenzwinkern

25.05.2012, 16:56

Christian_P

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danke! hm also mir fällt spontan nicht ein, wie ich die Existenz einer solchen Zahl begründen könnte. Wir kennen im Moment wirklich nur diese Grenzwertdefinition. Es sein denn mann kann mit den grundlegendsten Mitteln bzw mit trivialen Mitteln die Existenz zeigen.

Nochmal zu Ab- Aufrunden. Ich dachte $\begin{eqnarray*} f(x)=\left[ x \right] \end{eqnarray*}$ wäre eine Funktion zum Aufrunden. Ist also $\begin{eqnarray*} f(x)=\lceil x \rceil \end{eqnarray*}$ die Aufrunden Funktion? Das mit der +1 sollte nur zur "Sicherheit" sein.

25.05.2012, 17:03

Mystic

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Ja, [x] ist definitiv abrunden von x auf die nächste ganze Zahl, habe leider überlesen, dass du das oben schon falsch anders aufgefasst hattest... unglücklich

Edit: Schau dir die LaTeX-Symbole $\begin{eqnarray*} \lfloor x \rfloor \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lceil x \rceil \end{eqnarray*}$ für Ab- und Aufrunden auf die nächste ganze Zahl an, dann hätte diese ganze Runderei doch noch nachträglich einen Sinn gehabt... Big Laugh

25.05.2012, 17:14

Christian_P

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haha

Ja die Symbole machen wirklich einen Sinn.

Muss nicht $\begin{eqnarray*} N(\epsilon)\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sein? $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{\epsilon}-1 \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine genaue Eigenschaft, aber muss ich nicht auch sagen wie $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ genau aussieht?

25.05.2012, 17:17

Mystic

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Ja stimmt, wenn du wirklich $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ explizit angeben willst, dann gehts nicht anders... Aber weisbrot hat dazu eh schon alles gesagt, was nötig ist... Augenzwinkern

25.05.2012, 19:31

weisbrot

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ja stimmt, gaußklammer ist tatsächlich die floor-fkt., hab das auch verwechselt. zur existenz: stichwort archimedische eigenschaft. lg

25.05.2012, 19:35

Christian_P

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$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist archimedisch angeordnet. Jedes $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wird von einem $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ übertroffen.

Ist es das?

25.05.2012, 19:42

weisbrot

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jop! jetzt kannst du dir überlegen in wieweit das die existenz deines N(epsilon) rechtfertigt. da merke ich grade: wenn du die floor- bzw. ceilingfkt. anwendest b enutzt du ja schon implizit die arch. eig., d.h. diese fkt.en sind überhaupt nur wohldef. wegen dieser eig. - also wenn du mit ceil arbeitest und dein N explizit angibst brauchst du eigendlich nichts mehr zur existenz zu sagen (da du ja davon ausgehst, dass du diese fkt. benutzen darfst), also brauchst die arch. eig. nicht, wenn du aber nur die existenz eine solchen N > 1/epsilon behauptest, brauchst du sie (edit: ich meine "musst du sie erwähnen"). lg

25.05.2012, 20:24

Christian_P

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Naja interessant zu wissen ist es auf jeden Fall. Wir haben die ceil(x) und floor(x) noch gar nicht angesprochen. Wir hatten nur den ganzen Teil einer rellen Zahl [x], das hatte ich aber verdreht. Muss das arch.Pr. nur für den Fall N > 1/epsilon erwähnt werden?

25.05.2012, 20:43

weisbrot

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naja wie schon gesagt: die fkt [.] benutzt, dass es zu jeder reellen zahl eine größere natürliche zahl gibt (arch. eig.). wenn du dann mithilfe dieser fkt. dein N angeben kannst, also N:=[1/epsilon], bist du fertig. du kannst auch einfach sagen, wegen der archimed. eig. gibt es eine natürliche zahl > 1/epsilon, und diese wählst du dir als dein N(epsilon). lg

25.05.2012, 20:45

Christian_P

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aahjaa gut jetzt hab ichs verstanden smile

danke für deine und Mystics Hilfe.

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