Kongruenz einer Polynomfunktion

25.05.2012, 19:28	Lilifee	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenz einer Polynomfunktion Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb Z \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ eine Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten. Weiter sei p eine Primzahl und $\begin{eqnarray} n \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Z \geq 1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} z \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(z) \equiv 0 \end{eqnarray}$ mod $\begin{eqnarray} p^{n} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f'(z) \equiv 0 mod p \end{eqnarray}$ gelte. Man zeige, dass dann die Kongruenz $\begin{eqnarray} f(x) \equiv 0 mod \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p^{2n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z + p^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ entweder unlösbar ist oder $\begin{eqnarray} z + p^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ als Lösungsmenge besitzt. Meine Ideen: Leider habe ich keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Über hilfreiche Vorschläge würde ich mich freuen.
26.05.2012, 13:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll es nicht eher $\begin{eqnarray} f'(z) \equiv 0 \mod p^n \end{eqnarray}$ lauten? Weil sonst ist z.b. $\begin{eqnarray} f(x) = px+p^{2n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z = 0 \end{eqnarray}$ ein Gegenbeispiel. Es ist $\begin{eqnarray} f(z) = p^{2n} \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} f(z+p^n) = p^{n+1}+p^{2n} \end{eqnarray}$ ist nicht durch $\begin{eqnarray} p^{2n} \end{eqnarray}$ teilbar. Wenn die obige Änderung eintritt, so kannst du das beweisen, indem du das Polynom "um z entwickelst", d.h. du schreibst $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{i=0}^s a_i(x-z)^i \end{eqnarray}$ Das geht, weil die Menge der Polynome $\begin{eqnarray} \{(x-z)^i\| i \geq 0 \} \end{eqnarray}$ natürlich auch (jede Folge von Polynomen deren Grad immer um eins ansteigt) eine Basis des Polynomrings bildet.
26.05.2012, 14:51	Lilifee	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider heißt es nicht $\begin{eqnarray} f'(z) \equiv 0 \mod p^n \end{eqnarray}$ , sonder wie oben geschrieben $\begin{eqnarray} f'(z) \equiv 0 \mod p \end{eqnarray}$ . Aber ich kann dein Gegenbeispiel für diesen Fall leider nicht nachvollziehen.
26.05.2012, 15:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann stimmt die Aussage aber wohl nicht. Überzeuge dich doch selbst davon, dass f alle Vorraussetzungen erfüllt, aber die Aussage offensichtlich falsch ist. Das passt dann auch nicht zu einem Resultat, dass die Aufgabe hier etwas verallgemeinert: Sei $\begin{eqnarray} f \in \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(z)=0 \mod p^n \end{eqnarray}$ . Ist nun ein $\begin{eqnarray} l \leq n \end{eqnarray}$ gegeben, so gilt für jedes $\begin{eqnarray} a \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(z+ap^n) \equiv 0 \mod p^{n+l} \Longleftrightarrow f'(z)a \equiv \frac{-f(z)}{p^n} \mod p^l \end{eqnarray}$ In unserem Fall ist $\begin{eqnarray} l=n \end{eqnarray}$ . Die von dir zu zeigende Aussage sagt nun, dass die linke Seite der Aquivalenz unabhängig von a ist. Das kann aber nur der Fall sein, wenn $\begin{eqnarray} f'(z) \equiv 0 \mod p^n \end{eqnarray}$ ist, weil sonst die rechte Seite der Aquivalenz sehr wohl von a abhängt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »