Bijektivität zeigen (Umkehrfunktion)

25.05.2012, 20:21

Savior

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Bijektivität zeigen (Umkehrfunktion)

Meine Frage:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2->\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x,y):=(x^3-xy^2,x^2y-y^3)^T \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie für jedes $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ für das offene Mengen $\begin{eqnarray*} U,V\subseteq\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{0} \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \in V \end{eqnarray*}$ exisitieren und $\begin{eqnarray*} f:U->V \end{eqnarray*}$ bijektiv ist und eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion besitzt.
Bestimmen sie in diesem Fall $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x_{0}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz unglücklich

unglücklich

Soll ich jetzt einfach Bijektivität von f zeigen und anschließend die Umkehrfunktion bestimmen?

Falls ja, hier was ich bisher gemacht habe:

Es gilt $\begin{eqnarray*} det(f'(x,y))=x^4-2x^2y^2+y^4 \end{eqnarray*}$
Somit sieht man, dass $\begin{eqnarray*} det(f'(x,y))\neq0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x,y \neq 0 \end{eqnarray*}$

Wir haben in der Übung gesagt, falls $\begin{eqnarray*} det(f'(x,y))\neq0 \end{eqnarray*}$ gilt ist die funktion lokal bijektiv (stimmt das?)

nun muss ich aber noch globale Bijektivität zeigen
Zur Injektivität:
Aus $\begin{eqnarray*} f(x_{1},y_{1})=f(x_{2},y_{2}) \end{eqnarray*}$ muss ja $\begin{eqnarray*} x_{1}=x_{2} \end{eqnarray*}$ folgen

Ich habe nun $\begin{eqnarray*} f(x_{1},y_{1})=f(x_{2},y_{2}) \end{eqnarray*}$ gesetzt und komme nach umformen auf
$\begin{eqnarray*} \frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}} \end{eqnarray*}$
Hier weiß ich schon nicht weiter unglücklich

unglücklich

, reicht es zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} x_{1}=x_{2} \end{eqnarray*}$ gilt falls $\begin{eqnarray*} y_{1}=y_{2} \end{eqnarray*}$
Ansonsten ist $\begin{eqnarray*} x_{1} \neq x_{2} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} y_{1} \neq y_{2} \end{eqnarray*}$ ?

Bei der Surjektivität weiß ich dann leider garnicht mehr weiter unglücklich

unglücklich

(Die Umkehrfunktion sollte dann kein Problem sein, hauptsächlich geht es mir um die Bijektivität)

Hoffe jemand kann mir helfen smile

smile

26.05.2012, 16:18

Savior

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keine ne idee? unglücklich

unglücklich

26.05.2012, 17:32

Dustin

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Lieber Savior,

Zitat:

Wir haben in der Übung gesagt, falls $\begin{eqnarray*} det(f'(x,y))\neq0 \end{eqnarray*}$ gilt ist die funktion lokal bijektiv (stimmt das?)

Ja. (Was man in der Übung gesagt bekommt, stimmt erstaunlich oft Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Wobei f' die Jacobimatrix ist.

Zitat:

Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz unglücklich Soll ich jetzt einfach Bijektivität von f zeigen und anschließend die Umkehrfunktion bestimmen?

Bijektivität prüfen sollst du, ja. Aber bedenke den Unterschied zwischen lokaler und globaler Bijektivität! Die Funktion f ist NICHT global bijektiv.

Zitat:

Es gilt $\begin{eqnarray*} det(f'(x,y))=x^4-2x^2y^2+y^4 \end{eqnarray*}$

Hast du da evtl. einen Faktor 3 "wegeschmissen"?

Zitat:

Somit sieht man, dass $\begin{eqnarray*} det(f'(x,y))\neq0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x,y \neq 0 \end{eqnarray*}$

Wie genau kommst du da drauf?

Viele Grüße Dustin

26.05.2012, 17:48

Savior

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Danke für die Antwort smile

smile

ich tu mich mit dem Themengebiet doch sehr schwer, hatte schon immer meine Probleme mit injektiv, surjektiv und bijektiv unglücklich

unglücklich

Was genau ist denn der Unterschied zwischen lokaler und globaler?
Ich dachte ich müsste hier globale Bijektivität zeigen, damit ich die Umkehrabbildung bilden kann verwirrt

verwirrt

Also ich habe nochmals die Determinante überprüft und als Ergebnis müsste $\begin{eqnarray*} x^4 - 2x^2y^2+y^4 \end{eqnarray*}$ stimmen

Also woran ich das nun sehe, eigentlich nur mit "hinschauen", für x=y und x,y=0 sieht man ja dass det=0 gilt.
Fur $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ dachte ich eigentlich zu erkennen dass $\begin{eqnarray*} det \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, wie ich das aber zeigen kann weiß ich auch nicht unglücklich

unglücklich

Aber falls das nun stimmt mit meiner Annahme für det, dann wäre die Funktion ja lokal bijektiv für $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ , was aber sagt mir das jetzt, bzw hilft mir bei der Aufgabe und der Umkehrfunktion?

26.05.2012, 18:16

Dustin

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Zitat:

Was genau ist denn der Unterschied zwischen lokaler und globaler?

Hast du denn da wirklich GAR keine Ahnung? Irgendwo hast du das doch sicher schonmal gehört. Versuche es doch mal so gut wie du kannst selbst zu erklären. Dann helfe ich dir auch gerne mit der Präzisierung bzw. mit dem Verständnis smile

smile

Zitat:

Also ich habe nochmals die Determinante überprüft und als Ergebnis müsste $\begin{eqnarray*} x^4 - 2x^2y^2+y^4 \end{eqnarray*}$ stimmen

Ich habe dagegen
$\begin{eqnarray*} 3(x^4 - 2x^2y^2+y^4) \end{eqnarray*}$
raus. Das macht zwar für die weiteren Ergebnisse keinen unterschied, weil man die Determinante eh =0 setzt und dann die 3 wegkürzen kann, trotzdem ist es etwas anderes. Zeig doch bitte mal deinen Rechenweg!

Zitat:

Also woran ich das nun sehe, eigentlich nur mit "hinschauen", für x=y und x,y=0 sieht man ja dass det=0 gilt. Fur $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ dachte ich eigentlich zu erkennen dass $\begin{eqnarray*} det \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, wie ich das aber zeigen kann weiß ich auch nicht unglücklich

Wende mal eine Binomische Formel auf $\begin{eqnarray*} x^4 - 2x^2y^2+y^4 \end{eqnarray*}$ an!

Zitat:

Aber falls das nun stimmt mit meiner Annahme für det, dann wäre die Funktion ja lokal bijektiv für $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ , was aber sagt mir das jetzt, bzw hilft mir bei der Aufgabe und der Umkehrfunktion?

Es stimmt noch nicht ganz. Warum, siehst du, wenn du die Bin. Formel angewendet hast.
Unabhängig davon heißt Umkehrfunktion bilden ja, dass man die Funktionsgleichung(en) nach den Urbildern, d.h. x und y auflöst. Unabhängig von den anderen Ergebnissen kannst du dich da schon mal dran machen.

VG

26.05.2012, 18:56

Savior

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Zitat:

Hast du denn da wirklich GAR keine Ahnung? Irgendwo hast du das doch sicher schonmal gehört. Versuche es doch mal so gut wie du kannst selbst zu erklären. Dann helfe ich dir auch gerne mit der Präzisierung bzw. mit dem Verständnis smile

smile

Also wir haben die lokale/globale Bijektivität gestern das erste mal in der Übung behandelt bezüglich des Umkehrsatzes
Soweit ich das verstanden habe ex. bei lokaler Bijektivität für $\begin{eqnarray*} f : D -> \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ offene Mengen $\begin{eqnarray*} U,V \subset D \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f|_{U}:U->V \end{eqnarray*}$ bijektiv die Umgebung U auf V abbildet
Ist das so richtig?
Jedoch kann ich damit nicht viel anfangen bei der AUfgabe irgendwie unglücklich

unglücklich

Zitat:

Ich habe dagegen
$\begin{eqnarray*} 3(x^4 - 2x^2y^2+y^4) \end{eqnarray*}$
raus. Das macht zwar für die weiteren Ergebnisse keinen unterschied, weil man die Determinante eh =0 setzt und dann die 3 wegkürzen kann, trotzdem ist es etwas anderes. Zeig doch bitte mal deinen Rechenweg!

Dein Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} 3(x^4 - 2x^2y^2+y^4) \end{eqnarray*}$ habe ich auch, habe aber die 3 weggelassen weil die, wie du bereits gesagt hast, nichts am Ergebnis ändert smile

smile

Zitat:

Wende mal eine Binomische Formel auf $\begin{eqnarray*} x^4 - 2x^2y^2+y^4 \end{eqnarray*}$ an!

Habe substituiert $\begin{eqnarray*} x^2=s \end{eqnarray*}$ und bekomme dann

$\begin{eqnarray*} s_{1,2}=y^2 \pm \sqrt{y^4-y^4} \end{eqnarray*}$

Sprich nach der Resubstitution gilt $\begin{eqnarray*} x= \pm y \end{eqnarray*}$

Somit ist die Gleichung nur mit $\begin{eqnarray*} x= \pm y \end{eqnarray*}$ Lösbar und es gilt $\begin{eqnarray*} det=0 \end{eqnarray*}$ nur dann wenn $\begin{eqnarray*} x= \pm y \end{eqnarray*}$

Zitat:

Es stimmt noch nicht ganz. Warum, siehst du, wenn du die Bin. Formel angewendet hast.
Unabhängig davon heißt Umkehrfunktion bilden ja, dass man die Funktionsgleichung(en) nach den Urbildern, d.h. x und y auflöst. Unabhängig von den anderen Ergebnissen kannst du dich da schon mal dran machen.

VG

Ich würde nun folgern, dass die Funktion lokal bijektiv ist wenn nicht gilt $\begin{eqnarray*} x= \pm y \end{eqnarray*}$ , oder übersehe ich etwas verwirrt

verwirrt

Dann gibt es ja eine Formel für die Umkehrabbildung mit

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit würde hier gelten

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{3(x^4-2x^2y^2+y^4)} \begin{pmatrix} x^2-3y^2 & 2xy \\ -2xy & 3x^2-y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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26.05.2012, 19:15

Dustin

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Zitat:

Also wir haben die lokale/globale Bijektivität gestern das erste mal in der Übung behandelt bezüglich des Umkehrsatzes Soweit ich das verstanden habe ex. bei lokaler Bijektivität für $\begin{eqnarray*} f : D -> \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ offene Mengen $\begin{eqnarray*} U,V \subset D \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f|_{U}:U->V \end{eqnarray*}$ bijektiv die Umgebung U auf V abbildet Ist das so richtig? Jedoch kann ich damit nicht viel anfangen bei der AUfgabe irgendwie unglücklich

Ja das stimmt. Nehmen wir doch mal ein einfaches Beispiel: R-->R, f(x)=x².
Frage:
- Wieso ist das nicht global bijektiv?
- In einer Umgebung von x=2, also z.B. in [1;3], ist die Funktion lokal bijektiv. Wie lautet die Umkehrfunktion dort?
Wenn du das verstanden hast, kennst du den unterschied!

Zitat:

Dein Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} 3(x^4 - 2x^2y^2+y^4) \end{eqnarray*}$ habe ich auch, habe aber die 3 weggelassen weil die, wie du bereits gesagt hast, nichts am Ergebnis ändert smile

Okay. Aber du darfst dann nicht schreiben, dass det (f'(x)) = $\begin{eqnarray*} 3(x^4 - 2x^2y^2+y^4) \end{eqnarray*}$ ist, das ist so nicht richtig.

Zitat:

Habe substituiert $\begin{eqnarray*} x^2=s \end{eqnarray*}$ und bekomme dann $\begin{eqnarray*} s_{1,2}=y^2 \pm \sqrt{y^4-y^4} \end{eqnarray*}$ Sprich nach der Resubstitution gilt $\begin{eqnarray*} x= \pm y \end{eqnarray*}$ Somit ist die Gleichung nur mit $\begin{eqnarray*} x= \pm y \end{eqnarray*}$ Lösbar und es gilt $\begin{eqnarray*} det=0 \end{eqnarray*}$ nur dann wenn $\begin{eqnarray*} x= \pm y \end{eqnarray*}$

Das war zwar keine binomische Formel, so gehts aber auch smile

smile

Zitat:

Ich würde nun folgern, dass die Funktion lokal bijektiv ist wenn nicht gilt $\begin{eqnarray*} x= \pm y \end{eqnarray*}$ , oder übersehe ich etwas verwirrt

Richtig

smile

Zitat:

Dann gibt es ja eine Formel für die Umkehrabbildung mit $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Somit würde hier gelten $\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{3(x^4-2x^2y^2+y^4)} \begin{pmatrix} x^2-3y^2 & 2xy \\ -2xy & 3x^2-y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du kehrst jetzt die Jacobimatrix um. Da stehen aber ja die Ableitungen der Funktion f drin, nicht die Fkt. selbst. Das geht also so nicht. Du musst schon auf herkömmliche Weise die Funktion umstellen. Nenne die Bilder zB einfach x* und y*, d.h.
x*=x³-xy²
y*=x²y-y³,

und stelle das nach x und y um.

26.05.2012, 19:44

Savior

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Zitat:

Ja das stimmt. Nehmen wir doch mal ein einfaches Beispiel: R-->R, f(x)=x².
Frage:
- Wieso ist das nicht global bijektiv?
- In einer Umgebung von x=2, also z.B. in [1;3], ist die Funktion lokal bijektiv. Wie lautet die Umkehrfunktion dort?
Wenn du das verstanden hast, kennst du den unterschied!

ok, langsam glaube ich das zu verstehen
Deine Funktion ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht injektiv, also nicht GLOBAL bijektiv und somit ex. auch keine umkehrfunktion da für x=0 $\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

Das mit der Umgebung x=2 verstehe ich nicht ganz, was genau meinst du damit?
Mit [1,3] meinst du den Definitionsbereich? Was ist aber der Wertebereich?
Damit die Funktion lokal bijektiv ist, muss sie sowohl lokal injektiv als auch lokal surjektiv sein, das heißt ich müsste die Funktion definieren mit $\begin{eqnarray*} f:[1,3]->[1,9] \end{eqnarray*}$ damit sie lokal injektiv und lokal surjektiv ist oder?
Die Umkehrfunktion wäre meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$

Um dies auf meine Aufgabe zu übertragen, das heißt f ist für alle (x,y) außer $\begin{eqnarray*} x= \pm y \end{eqnarray*}$ LOKAL bijektiv, somit auch nicht GLOBAL bijektiv für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Du kehrst jetzt die Jacobimatrix um. Da stehen aber ja die Ableitungen der Funktion f drin, nicht die Fkt. selbst. Das geht also so nicht. Du musst schon auf herkömmliche Weise die Funktion umstellen. Nenne die Bilder zB einfach x* und y*, d.h.
x*=x³-xy²
y*=x²y-y³,

und stelle das nach x und y um.

Hm mir erschließt sich das noch nicht ganz, warum ich das nicht so machen kann, was ist da genau falsch daran verwirrt

verwirrt

Auch habe ich meine Probleme mit dem Umstellen unglücklich

unglücklich

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} x(x^2-y^2)=x^{*} \end{eqnarray*}$ aber wie genau schaffe ich es nun nur x auf einer Seite stehen zu haben?

26.05.2012, 19:52

Dustin

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Zitat:

ok, langsam glaube ich das zu verstehen Deine Funktion ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht injektiv, also nicht GLOBAL bijektiv und somit ex. auch keine umkehrfunktion da für x=0 $\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Das mit der Umgebung x=2 verstehe ich nicht ganz, was genau meinst du damit? Mit [1,3] meinst du den Definitionsbereich? Was ist aber der Wertebereich? Damit die Funktion lokal bijektiv ist, muss sie sowohl lokal injektiv als auch lokal surjektiv sein, das heißt ich müsste die Funktion definieren mit $\begin{eqnarray*} f:[1,3]->[1,9] \end{eqnarray*}$ damit sie lokal injektiv und lokal surjektiv ist oder? Die Umkehrfunktion wäre meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$

Die Umkehrfunktion von x² ist aber nicht x^-2. Wie stellt man y=x² nach x um?
Vielleicht bleiben wir erstmal bei diesem Thema und kommen danach zu den anderen Punkten, damit du nicht alles durcheinander machst?!

26.05.2012, 20:00

Savior

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Zitat:

Die Umkehrfunktion von x² ist aber nicht x^-2. Wie stellt man y=x² nach x um?
Vielleicht bleiben wir erstmal bei diesem Thema und kommen danach zu den anderen Punkten, damit du nicht alles durcheinander machst?!

oh, da hab ich wohl ganz falsch gedacht, dachte die Umkehrfunktion lautet $\begin{eqnarray*} (x^2)^{-1} \end{eqnarray*}$ Hammer

Hammer

Also $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ nach x umgestellt ist ja $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ , somit lautet die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und somit wäre die Umkehrfunktion für alle negativen Zahlen nicht definiert, was auch mit der bijektivität übereinstimmt, da die Funktion nur für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ lokal bijektiv ist
Das stimmt nun soweit?

26.05.2012, 20:31

Dustin

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Schon ein wenig besser. Aber ich glaube, du bist gedanklich gerade etwas überhastet.

Also: richtig, die Wurzelfunktion ist für negative Zahlen nicht definiert, also nur für positive Zahlen und Null. Wenn wir den Wertebereich damit auf $\begin{eqnarray*} R_0^+ \end{eqnarray*}$ reduzieren, wäre die Funktion
$\begin{eqnarray*} f: R-->R_0^+, f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
surjektiv. (Merke: Surjektivität kann immer durch geeignetes Einschränken des Bildbereichs erreicht werden!)
Das Problem mit der Lokalisierung hat aber mit Injektivität zu tun. Das Problem ist bei der Funktion nämlich, dass aus y=x² zwei Lösungen für x möglich sind, nämlich
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{y}, x=-\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ ! Das und nur das ist der Grund, weshalb die Funktion nicht global bijektiv ist.
Im Bereich $\begin{eqnarray*} x\in \left[1;3\right] \end{eqnarray*}$ jedoch kommt nur die + Lösung infrage, daher ist f hier lokal bijektiv. Klaro? smile

smile

So, jetzt bin ich ein wenig abgeschweift, aber ich hoffe, das trägt zu deinem Verständnis bei.

Zurück zur Natur:

Die Jacobimatrix zu invertieren nützt deshalb nichts, weil da ja nur die partiellen Ableitungen drinstehen. Du kehrst also sozusagen die partiellen Ableitungen der Funktion f um, nicht aber die Funktion selbst.

Das Umstellen der beiden Gleichungen nach x und y ist rechnerisch ein bisschen aufwendig, aber machbar. Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Da gibt es doch Verfahren dafür, die du sicher auch kennst smile

smile

26.05.2012, 21:13

Savior

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Ok langsam wirds etwas klarer bezüglich der lokalen / globalen bijektivität, die Injektivität scheint hier eine große Rolle zu spielen smile

smile

Habe das jetzt etwas umgeformt und komme auf die beiden Lösungen

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{x^{*}}{((y^{*})^2-(x^{*})^2)^{\frac{1}{3}}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\frac{y^{*}}{((x^{*})^2-(y^{*})^2)^{\frac{1}{3}}} \end{eqnarray*}$

Habs überprüft und stimmt soweit smile

smile

Jetzt bleibt nurnoch die Frage, was mache ich jetzt mit dem erhaltnen x und y, wo muss ich das jetzt einsetzen?
Soll ich diese in meine Ursprüngliche Funktion f(x,y) einsetzen?
Habe mir die Sache mit der Umkehrfunktion doch etwas einfacher vorgestellt Hammer

Hammer

Edit: Hab grad etwas falsch gedacht, in meine Ausgangsgleichung wäre ja Blödsinn, soll ich das in meine Endlösung $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ einsetzen?

26.05.2012, 21:45

Dustin

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Sicher, dass beim y nicht auch ein Minuszeichen davor steht? Ich kann mich natürlich auch verrechnet haben. Jedenfalls stimmen unsere Lösungen ansonsten überein smile

smile

Und um genau zu sein, ist es nur eine Lösung für zwei Unbekannte, nicht mehrere Lösungen.

Bedenke auch, dass die 3. Wurzel (bzw. Potenz 1/3) nur für positive Zahlen definiert ist, aber x²-y² kann ja auch negativ werden. Wenn man dagegen den Begriff der n-ten Wurzel für ungerade n auch auf negative Radikanden erweitert (was häufig getan wird), kann man es dann so stehen lassen.

Jetzt siehst du auch nochmal bestätigt, was du vorher über die Determinante schon errechnet hast: Für $\begin{eqnarray*} y=\pm x \end{eqnarray*}$ wird der Nenner Null und die Fkt. ist damit nicht auflösbar.
(Der Grund dafür ist im Prinzip derselbe wie bei unserem Beispiel mit f(x)=x². Setzt man in die Ursprungsfunktion x²-y²=0, so folgt sofort x*=0 und y*=0, d.h. der Bildpunkt (0/0) hat unendlich viele Urbilder --> Injektivität verletzt)

Einsetzen musst du das nirgendwo mehr, du hast doch jetzt schon deine Umkehrfunktion! Die Fragen lauteten doch

1. Für welche $\begin{eqnarray*} x_0\in R^2 \end{eqnarray*}$ ist f lokal umkehrbar? (mit stetig differenzierbarer Umkehrfkt. blabla)
2. Wie lautet dann die Umkehrfunktion?

Beide Fragen kannst du jetzt bereits beantworten.

26.05.2012, 22:09

Savior

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Zitat:

Original von Dustin
Sicher, dass beim y nicht auch ein Minuszeichen davor steht? Ich kann mich natürlich auch verrechnet haben. Jedenfalls stimmen unsere Lösungen ansonsten überein smile

smile

Und um genau zu sein, ist es nur eine Lösung für zwei Unbekannte, nicht mehrere Lösungen.

Bedenke auch, dass die 3. Wurzel (bzw. Potenz 1/3) nur für positive Zahlen definiert ist, aber x²-y² kann ja auch negativ werden. Wenn man dagegen den Begriff der n-ten Wurzel für ungerade n auch auf negative Radikanden erweitert (was häufig getan wird), kann man es dann so stehen lassen.

Jetzt siehst du auch nochmal bestätigt, was du vorher über die Determinante schon errechnet hast: Für $\begin{eqnarray*} y=\pm x \end{eqnarray*}$ wird der Nenner Null und die Fkt. ist damit nicht auflösbar.
(Der Grund dafür ist im Prinzip derselbe wie bei unserem Beispiel mit f(x)=x². Setzt man in die Ursprungsfunktion x²-y²=0, so folgt sofort x*=0 und y*=0, d.h. der Bildpunkt (0/0) hat unendlich viele Urbilder --> Injektivität verletzt)

Einsetzen musst du das nirgendwo mehr, du hast doch jetzt schon deine Umkehrfunktion! Die Fragen lauteten doch

1. Für welche $\begin{eqnarray*} x_0\in R^2 \end{eqnarray*}$ ist f lokal umkehrbar? (mit stetig differenzierbarer Umkehrfkt. blabla)
2. Wie lautet dann die Umkehrfunktion?

Beide Fragen kannst du jetzt bereits beantworten.

1. Die Funktion ist für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \neq \pm y \end{eqnarray*}$ lokal umkehrbarmit einer stetig diffbaren Umkehrfunktion

2. Die Umkehrfunktion lautet $\begin{eqnarray*} f(x^{*},y^{*})^{-1}=(-\frac{x^{*}}{((y^{*})^2-(x^{*})^2))^\frac{1}{3}}, \frac{y^{*}}{((x^{*})^2-(y^{*})^2))^\frac{1}{3}}) \end{eqnarray*}$

(habe es nochmal überprüft, bei mir hat y kein Minuszeichen smile

smile

)

Wäre das jetzt so richtig?

26.05.2012, 22:12

Dustin

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Jop

smile

Ich stell auch grad fest, dass du die Nenner verschieden herum hast, bei mir sind beide Nenner x²-y², daher habe ich gar keine Minuszeichen. Wir haben also dasselbe raus smile

smile

26.05.2012, 22:17

Savior

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Super, danke dir für deine TOLLE Hilfe und Geduld mit mir Mit Zunge

Mit Zunge

Noch eine letzte Frage bleibt allerdings Big Laugh

Big Laugh

Ich habe ja jetzt gezeigt, wann sie lokal umkehrbar ist, wie genau kann ich jetzt argumentieren dass sie nicht global umkehrbar ist?
Kann ich sagen wegen der Bedingung $\begin{eqnarray*} x \neq \pm y \end{eqnarray*}$ ist sie nicht global umkehrbar?

26.05.2012, 22:21

Dustin

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Ja. Globale Umkehrbarkeit würde Umkehrbarkeit in jedem Punkt implizieren, und das ist hier nicht erfüllt.

Hab dir ja gern geholfen smile

smile

Viele Grüße Dustin

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