alternierende Folge, Grenzwert

26.05.2012, 00:13	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
alternierende Folge, Grenzwert Gegeben ist diese Folge: $\begin{eqnarray} a_n=n^{(-1)^{n}} \end{eqnarray}$ Ich muss den Grenzwert bestimmen bzw. zeigen, dass die Folge keinen hat. Und zwar möglichst nach Definition. Für gerades n ist es die Folge der natürlichen Zahlen und für ungerades n geht die andere Teilfolge gegen 0. Nun kenne ich den Begriff einer Teilfolge eigentlich offiziell noch nicht. Wir sollen es mit der Epsilon-Definition des Grenzwertes zeigen. Kann ich trotzdem zwei getrennte Fälle annehmen, oder wie macht man das am besten? lg
26.05.2012, 00:52	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: alternierende Folge, Grenzwert Naja, da jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert, ist 0 hier der einzige Kandidat für einen ev. existierenden Grenzwert... Die Frage ist also: Warum kann 0 nicht Grenzwert sein?
26.05.2012, 12:19	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke. Ich versuchs mal zu begründen: 1.) n sei ungerade, also $\begin{eqnarray} n=2k+1 \end{eqnarray}$ : Dan sieht die Folge so aus $\begin{eqnarray} a_{2k+1} = (2k+1)^{(-1)^{2k+1}} = \frac{1}{2k+1}\to 0 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} k\to +\infty \end{eqnarray}$ Diese Zahl kann ich konstruieren wenn ich wieder $\begin{eqnarray} 2k+1=n \end{eqnarray}$ setzte währe das $\begin{eqnarray} \forall n\geq N_{\epsilon}:=\left[ \frac{1}{\epsilon}\right]+1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lim{a_n}=0 \end{eqnarray}$ . Nun gilt der Satz: Eine konvergente Zahlenfolge besitzt genau einen Grenzwert. 2.) n sei gerade, also $\begin{eqnarray} n=2k \end{eqnarray}$ : Dan sieht die Folge so aus $\begin{eqnarray} a_{2k} = (2k)^{(-1)^{2k}} = 2k \to +\infty \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} k\to +\infty \end{eqnarray}$ Diese Folge hätte aber genau den gleichen Grenzwert 0 haben müssen. Ich würde das gern noch mit der Negation der Def. begründen, nur bin ich mir nicht sicher, wie ich diese korrekt negiere. $\begin{eqnarray} (\exists \lim{a_n})\Leftrightarrow (\forall \epsilon > 0 \; \exists N(\epsilon)\in \mathbb{N}: (\forall n>N(\epsilon) \text{ gilt } \left\| a_n-a\right\|<\epsilon)) \end{eqnarray}$ Ist die erstmal korrekt? $\begin{eqnarray} \neg(\exists \lim{a_n})\Leftrightarrow \neg(\forall \epsilon > 0 \; \exists N(\epsilon)\in \mathbb{N}: (\forall n>N(\epsilon) \text{ gilt } \left\| a_n-a\right\|<\epsilon)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow (\exists \epsilon > 0 \; \forall N(\epsilon)\in \mathbb{N}: \neg(\forall n>N(\epsilon) \text{ gilt } \left\| a_n-a\right\|<\epsilon)) \end{eqnarray}$ bei dieser Aussage weiß ich nun nicht, ob der Allquantor auch umgedreht werden muss. $\begin{eqnarray} \neg(\forall n>N(\epsilon) \text{ gilt } \left\| a_n-a\right\|<\epsilon)\Leftrightarrow \text{?} \end{eqnarray}$ lg
26.05.2012, 13:51	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das Ganze ist heillos kompliziert... Bitte jetzt nicht fragen, ob es denn richtig ist, denn ich habe es mir im Detail gar nicht durchgelesen... Die Sache ist doch die, dass z.B. für $\begin{eqnarray} \epsilon =1/2 \end{eqnarray}$ sämtliche Folgenglieder mit geradem Index nicht in der $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Umgebung von 0 liegen, es müsste aber alle bis auf endlich viele da drin liegen...
26.05.2012, 19:16	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm und wie könnte ich das am besten aufschreiben? Sehr kurz wäre die Begründung, dass eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ nicht gegen 0 konvergiert, sondern divergent ist. In einer kovergenten Folge muss ja jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert streben. lg
26.05.2012, 22:54	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wäre die Folge konvergent, so müssten auch alle Teilfolgen konvergieren und zwar gegen den gleichen Grenzwert... Die Teilfolge $\begin{eqnarray} (a_{2k}) \end{eqnarray}$ ist aber nach oben nicht beschränkt und konvergiert daher nicht, als gilt das dann auch für die Folge selbst...
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27.05.2012, 19:03	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann weis ich erst mal bescheit. Mal sehen wie ichs am besten aufschreibe. Das Argument ist jedenfalls schon mal klar. nochmals viele Grüße, bis dann

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