Gruppenordnung 10 => Orbit mit 5 Elementen

26.05.2012, 12:54

St.Phönix

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Gruppenordnung 10 => Orbit mit 5 Elementen

Meine Frage:
Sei G eine Gruppe der Ordnung 10 und X die Menge aller zweielementigen Teilmengen von G.
Berechnen sie |X| und zeigen sie, dass es einen Orbit 5 Elementen gibt.

Meine Ideen:
Also den ersten Teil habe ich problemlos lösen können, da kommt 45 raus (10 über 2).
Beim zweiten Teil hänge ich etwas. Es ist klar, dass jeder Orbit entweder 1,2,5 oder 10 Elemente hat, da 10=2*5.
Auch klar ist dass |X| eine Summe aus entsprechenden Vielfachen von 1,2,5 und 10 ist, da ich X in disjunkte Orbits zerlegen kann.
Mein Problem ist nur, zu zeigen, dass 5 in dieser Summe tatsächlich auftauchen muss, schließlich wäre ja 1+1+1+2+10+10+10+10=45 ohne, dass die 5 auftaucht. D.h. irgendwas muss solche Kombinationen verbieten, da fällt mir bloß leider grade nichts ein unglücklich

unglücklich

Theoretisch müsste es auch 45 einelementige Orbits geben können.
Ich nehme mal ganz stark an, dass es irgendein Kriterium gibt, dass mir die Anzahl der Orbits einschränkt, so dass nachher nur noch 10+10+10+10+5 übrig belibt oder so, aber das einzige, was ich in dieser Richtung kenne, wäre das Burnside-Lemma, aber das hilft mir nicht, da ich ja die Fixpunkte nicht kenne.

26.05.2012, 13:23

Mystic

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RE: Gruppenordnung 10 => Orbit mit 5 Elementen
Ich könnte mir vorstellen, dass dies damit zusammenhängt, dass eine 10-elementige Gruppe auf jeden Fall eine (eindeutig bestimmten) 5-elementige Untergruppe enthält...

26.05.2012, 13:24

St.Phönix

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Normalteiler hatten wir aber noch nicht, dementsprechend, werd eich damit nicht argumentieren dürfen.

26.05.2012, 13:25

Mystic

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Ja, hab das oben rauseditiert und auf Untergruppe ausgebessert, bevor ich deine Antwort gesehen habe...

26.05.2012, 13:26

Elvis

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Es muss an der Operation $\begin{eqnarray*} \sigma:G\times X \to X, (g,x)\to \sigma(g,x) \end{eqnarray*}$ liegen, die du uns verschweigst. Die Oeration $\begin{eqnarray*} \sigma(g,x):=x \end{eqnarray*}$ hat nur einelementige Bahnen.

26.05.2012, 13:28

Mystic

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Naja, da er sie uns "verschweigt" ist es wohl die (elementweise durchgeführte) Gruppenoperation...

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26.05.2012, 15:32

St.Phönix

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Oh, sry. Die hatte ich vergessen:
G operiert auf X durch g(x_1,x_2) := (gx_1,gx_2)

26.05.2012, 15:39

Mystic

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Sagte ich ja... Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.05.2012, 11:00

Elvis

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Na dann ist ja alles klar, denn Gruppen der Ordung 10 gibt es nicht viele, genau genommen nur eine ... siehe hier : http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

27.05.2012, 11:56

St.Phönix

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Schön und gut, aber das hilft mir auch nicht, denn dann müsste ich beweisen, dass es nur diese eine Gruppe mit Ordnung 10 gibt.
Es muss doch irgendein vernünftiges Argument für die Gesamtanzahl der Orbits geben.

27.05.2012, 12:01

Mystic

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Zitat:

Original von Elvis
Na dann ist ja alles klar, denn Gruppen der Ordung 10 gibt es nicht viele, genau genommen nur eine ... siehe hier : http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

Naja, ich könnte aus dem Stand schon zwei nennen, nämlich die zyklische Gruppe der Ordnung 10 und die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_5 \end{eqnarray*}$ ...

Die Aufgabe selbst würde ich so angehen, dass ich zunächst einmal die Gruppenelemente anschreibe in der Form

$\begin{eqnarray*} G=\{e,a,a^2,a^3,a^4,b,ba,ba^2,ba^3,ba^4\} \end{eqnarray*}$

wobei a ein Element der Ordnung 5 ist (warum gibt es das überhaupt?) und b eine Element, das nicht in der von a erzeugten Untergruppe liegt... Das sollte alle Rechnungen hier sehr viel einfacher machen...

27.05.2012, 12:49

St.Phönix

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Zitat:

wobei a ein Element der Ordnung 5 ist (warum gibt es das überhaupt?)

Das ist eine gute Frage. Nach Lagrange ist klar, dass es das geben kann, aber mir fällt nichts ein, was seine Existens "notwendig" macht.

27.05.2012, 13:06

Mystic

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Naja, wenn es ein Element der Ordnung 10 gibt, dann hat sein Quadrat die Ordnung 5... Wenn es also kein Element der Ordnung 5 gibt, dann hätten alle Elemente höchstens die Ordnung 2 und die Gruppe ließe sich als endlicher Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ auffassen... Dessen Ordnung ist aber bekanntlich eine Potenz von 2...

Im Grunde geht es aber bei der Aufgabe nur darum, zu zeigen, dass es keine Orbits mit einem oder 2 Elementen geben kann... Daraus folgt dann in trivialer Weise die Behauptung...

27.05.2012, 14:34

St.Phönix

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Eig. würde es schon reichen zu zeiogen, dass es keinen Orbit mit nur einem Element geben kann, und wie das geht, da wär ich für nen Tipp dankbar.
Alternativ, wenn sich das nicht widerlegen ließe hätte man eben versuchen können über die Anzahl von Orbits die Summen mit 1 auszuschließen.

Zitat:

Naja, wenn es ein Element der Ordnung 10 gibt, dann hat sein Quadrat die Ordnung 5

Das versteh ich jetzt auch nicht ganz, wieso hat das Ordnung 5?

27.05.2012, 20:29

Mystic

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Zitat:

Original von St.Phönix
Eig. würde es schon reichen zu zeigen, dass es keinen Orbit mit nur einem Element geben kann,
und wie das geht, da wär ich für nen Tipp dankbar.

Ok, langsam ist der Punkt erreicht, wo ich hier einfach nicht mehr zuschauen kann, wie du da herumtappst, als wärst du in einem stockdunklen Zimmer und suchst den Lichtschalter... unglücklich

unglücklich

Nimm mal irgendeine Gruppe G mit Einselement e, X sei die Menge aller zweielementigen Teilmengen von G und $\begin{eqnarray*} \{a,b\} \in X \end{eqnarray*}$ . Wie könnte dann der Stabilisator $\begin{eqnarray*} G_{\{a,b\}} \end{eqnarray*}$ von {a,b} aussehen? Irgendein x darin müsste offenbar die Bedingungen

$\begin{eqnarray*} x\{a,b\}=\{a,b\} \end{eqnarray*}$

erfüllen, was aber nur geht, wenn xa=a,xb=b, also x=e ist, oder xa=b,xb=a, was sofort auf

$\begin{eqnarray*} x=ba^{-1}=ab^{-1} \end{eqnarray*}$

führt, was natürlich in den meisten Fällen nicht erfüllt sein wird... I.d.R. besteht der Stabilisator von {a,b} daher nur aus e und der Orbit von {a,b} hat |G| Elemente... Sollte obige Bedingung aber doch erfüllt sein, hätte der Stabilsator dann 2 Elemente und der Orbit von {a,b} hätte dann |G|/2 Elemente, was natürlich nur für eine gerade Gruppenordnung möglich ist...

Zitat:

Original von St.Phönix
Naja, wenn es ein Element der Ordnung 10 gibt, dann hat sein Quadrat die Ordnung 5[...]

Ja tatsächlich, wenn a die Ordnung 10 hat, dann hat a² die Ordnung 5... Rechne doch einfach nach:

$\begin{eqnarray*} (a^2)^5=a^{10}=e \end{eqnarray*}$

und kleinere Potenzen von a² mit positiver Hochzahl führen nicht auf e, sonst hätte auch a selbst nicht die Ordnung 10...

28.05.2012, 11:12

St.Phönix

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Mhm, so richtig reichen tut das aber nich, oder? Es gibt ja schließlich Gruppen, die Fixpunkte haben, beispielsweise alle die mit einer Ordnung die einer Primzahlpotenz entspricht, also verbietet sich ein 10-elementiger Stabilisator nicht von selbst.
Es ist klar, dass ich recht eigenartige Kombinationen bräuchte, da ein x aus X natürlich nur maximal einmal das neutrale Element ethalten kann, aber sowas wie ga=a, gb=b für die ersten 5 Gruppenelemente g und ga=b, gb=a für die letzten 5 wär zwar ziemlich abgefahren, aber nicht unbedingt unmöglich.

Wobei ich mich grade Frage, ob das für die letzten 5 Gruppenelemente nicht hieße, dass sie selbstinvers sind:
$\begin{eqnarray*} g=ba^{-1} \Rightarrow g^{-1}=(ba^{-1})^{-1}=ab^{-1}=g \end{eqnarray*}$
Oder hab ich bei dieser "Invers-Umdreh-Regel" jetzt irgendwas durcheinander geschmissen?

28.05.2012, 11:25

Mystic

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Zitat:

Original von St.Phönix
Mhm, so richtig reichen tut das aber nich, oder? Es gibt ja schließlich Gruppen, die Fixpunkte haben, beispielsweise alle die mit einer Ordnung die einer Primzahlpotenz entspricht, also verbietet sich ein 10-elementiger Stabilisator nicht von selbst.

Ich habe von unserer Situation gesprochen, wo X auf den 2-elementigen Teilmengen der Gruppe operiert... Allgemein gilt das natürlich nicht... Wenn X z.B. aus den 4-elementigen Teilmengen von G besteht, dann könnte der Stabilisator 4!, also 24 Elemente haben...

Zitat:

Original von St.Phönix
Es ist klar, dass ich recht eigenartige Kombinationen bräuchte, da ein x aus X natürlich nur maximal einmal das neutrale Element ethalten kann, aber sowas wie ga=a, gb=b für die ersten 5 Gruppenelemente g und ga=b, gb=a für die letzten 5 wär zwar ziemlich abgefahren, aber nicht unbedingt unmöglich.

Ich verstehe nur Bahnhof... geschockt

geschockt

ga=a impliziert doch g=e oder etwa nicht??? Klären wir doch mal diese eine Sache, bevor es hier weitergeht...

Edit: Bau doch bitte hier keine "Luftschlösser", sondern knöpf dir mal ganz konkret die zyklische Gruppe G mit 10 Elementen vor mit a als Erzeuger... Wann besteht der Stabilisator von

$\begin{eqnarray*} \{a^i, a^j\} \quad (i,j \in \{0,1,\ldots,9\},i \ne j) \end{eqnarray*}$

nur aus e allein, wann enthält er noch ein weiteres Element, d.h., ist dann 2-elementig? Das sollte hier endlich mal für etwas Klarheit sorgen...

28.05.2012, 11:50

St.Phönix

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Zitat:

Ich verstehe nur Bahnhof... geschockt ga=a impliziert doch g=e oder etwa nicht???

Stimmt, da hatte ich wohl nen Brett vorm Kopf...

Zitat:

Bau doch bitte hier keine "Luftschlösser", sondern knöpf dir mal ganz konkret die zyklische Gruppe G mit 10 Elementen vor mit a als Erzeuger

Ist G notwenigerweise zyklisch? In der Aufgabe steht nur Gruppe, nichts davon, auf welchem Raum sie definiert ist oder sonstwas.
Ich meine mich zu erinnern, dass wir in der Vorlesung mal festgestellt hatten, dass nicht unbedingt jede Gruppe endlicher Ordnung zyklisch sei, irgendwas mit Folgen im mod2-Raum war das glaub ich.

Zitat:

Wann ist dier Stabilisator von

$\begin{eqnarray*} \{a^i, a^j\} \quad (i \ne j) \end{eqnarray*}$

1-elementig bzw. 2-elementig?

Naja, einelementig ist er, wenn nur das neutrale Element drin ist. Zweielementig, wenn zusätzlich noch ein Gruppenelement g drin ist, so dass ga=b und gb=a ist.
Wär jetzt die Frage, ob man einfach sagen könnte, dass es ein weiteres Element im Stabilisator nicht geben kann, weil ein weiteres g' mit g'a=a und g'b=b geht nicht, da dies das neutr. Element wäre. Aber ein weiteres g'a=b und g'b=a geht auch nicht, da dann gilt:
$\begin{eqnarray*} g'a=b=ga \Rightarrow g'a=ga \iff g'=g \end{eqnarray*}$
An sich klingt das recht logisch, aber ich bin etwas skeptisch, da ich mir dann icht wirklich vorstellen kann, wie man für andere Gruppen Fixpunkte finden soll, da müsste es ja dann auch ausreichend große Stabilisatoren geben.

28.05.2012, 12:12

Mystic

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Zitat:

Original von St.Phönix
Ist G notwenigerweise zyklisch? In der Aufgabe steht nur Gruppe, nichts davon, auf welchem Raum sie definiert ist oder sonstwas.Ich meine mich zu erinnern, dass wir in der Vorlesung mal festgestellt hatten, dass nicht unbedingt jede Gruppe endlicher Ordnung zyklisch sei, irgendwas mit Folgen im mod2-Raum war das glaub ich.

Das ist so unendlich mühsam mit dir, weil du nicht bereit bist, was hier gesagt wurde, auch verstandesmäßig zu "verarbeiten"... Du fragst hier, ob es die zyklische Gruppe mit 10 Elementen die einzige Gruppe mit 10 Elementen ist, obwohl ich oben geschrieben habe(!!!)

Zitat:

Original von Mystic
Naja, ich könnte aus dem Stand schon zwei nennen, nämlich die zyklische Gruppe der Ordnung 10 und die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_5 \end{eqnarray*}$ ...

Leider geht es in dieser Art weiter:

Zitat:

Original von St.Phönix
Naja, einelementig ist er, wenn nur das neutrale Element drin ist. Zweielementig, wenn zusätzlich noch ein Gruppenelement g drin ist, so dass ga=b und gb=a ist. Wär jetzt die Frage, ob man einfach sagen könnte, dass es ein weiteres Element im Stabilisator nicht geben kann, weil ein weiteres g' mit g'a=a und g'b=b geht nicht, da dies das neutr. Element wäre. Aber ein weiteres g'a=b und g'b=a geht auch nicht, da dann gilt:
$\begin{eqnarray*} g'a=b=ga \Rightarrow g'a=ga \iff g'=g \end{eqnarray*}$
An sich klingt das recht logisch, aber ich bin etwas skeptisch, da ich mir dann icht
wirklich vorstellen kann, wie man für andere Gruppen Fixpunkte finden soll, da müsste es ja
dann auch ausreichend große Stabilisatoren geben.

Sorry, aber damit ist nun wirklich der Punkt erreicht, wo ich sage: Bis hierher und nicht weiter... geschockt

geschockt

Statt konkret mit der Gruppe zu rechnen, deren Elemente die Form

$\begin{eqnarray*} a^k \quad (k \in \{0,1,2,...,9\}) \end{eqnarray*}$

haben, baust du weiterhin "Luftschlösser", indem du von allgemeinen Gruppenelementen g sprichst...

Wenn du dich jetzt nicht endlich in die Aufgabe "hineinkniest" und wenigstens mal diesen einfachen Fall einer zyklischen Gruppe erledigst (wobei die angestellten Überlegungen aber sich sofort auch auf den allgemeinen Fall übertragen lassen!) so bin ich hier definitiv weg... unglücklich

unglücklich

28.05.2012, 13:02

St.Phönix

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Das Problem ist ja, dass ich es für jede Gruppe der Ordnung 10 zeigen muss, also z.B. auch für die D5, welche ja nicht abelsch, und damit nicht zyklisch ist, wenn ich mich nicht irre. In so fern, nützt mir der Spezialfall der zyklischen Gruppe ja nichts.

Aber gut, wenn wir die Gruppe mal als zyklisch und von a erzeugt auffasen, dann wäre der einelementige Stabilisator nach wie vor der mit dem neutralen Element, also [latex]a^{10}[\latex]. Der zweielementige wäre der, der neben dem neutralen Element noch ein weiteres Gruppenelement (also [latex]a^r[\latex] enthilete, so dass [latex]a^ra^{i}=a^j ; a^ra^j=a^{i}[\latex]. Das funktioniert natürlich nur für geeignete zwei-elementige Teilmengen und nicht für alle. Es müsste genau mit den Teilmengen gehen, wo |j-i|=5 ist, also [latex](a,a^6); (a^2, a^7); (a^3, a^8); (a^4, a^9); (a^5, a^{10}=e)[\latex], alle anderen Stabilisatoren müssten einelementig sein. Alle Orbits, die zu einem zweielementigen Stabilisator gehören, wären aber nicht disjunkt, folglich identisch. Es gibt also exakt einen Orbit mit 5 Elementen. Es müsste also noch 4 weitere disjunkte Orbits mit 10 Elementen geben, das geht auch genau auf, denn es gibt jeweils nur einen (disjunkten) Orbit für jede mögliche Differenz j-i (Vorzeichen interessiert ja nicht und 0 ist wegen i ungleich j ausgeschlossen), d.h. für eine zyklische Gruppe der Ordnung 10 käme das hin.

28.05.2012, 13:08

St.Phönix

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Sry, hab die Syntax versaut, eig sollte das so aussehen:

Das Problem ist ja, dass ich es für jede Gruppe der Ordnung 10 zeigen muss, also z.B. auch für die D5, welche ja nicht abelsch, und damit nicht zyklisch ist, wenn ich mich nicht irre. In so fern, nützt mir der Spezialfall der zyklischen Gruppe ja nichts.

Aber gut, wenn wir die Gruppe mal als zyklisch und von a erzeugt auffassen, dann wäre der einelementige Stabilisator nach wie vor der mit dem neutralen Element, also $\begin{eqnarray*} a^{10} \end{eqnarray*}$ . Der zweielementige wäre der, der neben dem neutralen Element noch ein weiteres Gruppenelement (also $\begin{eqnarray*} a^r \end{eqnarray*}$ enthielte, so dass $\begin{eqnarray*} a^ra^{i}=a^j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^ra^j=a^{i} \end{eqnarray*}$ . Das funktioniert natürlich nur für geeignete zwei-elementige Teilmengen und nicht für alle. Es müsste genau mit den Teilmengen gehen, wo |j-i|=5 ist, also $\begin{eqnarray*} (a,a^6); (a^2, a^7); (a^3, a^8); (a^4, a^9); (a^5, a^{10}=e) \end{eqnarray*}$ , alle anderen Stabilisatoren müssten einelementig sein. Alle Orbits, die zu einem zweielementigen Stabilisator gehören, wären aber nicht disjunkt, folglich identisch. Es gibt also exakt einen Orbit mit 5 Elementen. Es müsste also noch 4 weitere disjunkte Orbits mit 10 Elementen geben, das geht auch genau auf, denn es gibt jeweils nur einen (disjunkten) Orbit für jede mögliche Differenz j-i (Vorzeichen interessiert ja nicht und 0 ist wegen i ungleich j ausgeschlossen), d.h. für eine zyklische Gruppe der Ordnung 10 käme das hin.

28.05.2012, 13:51

Mystic

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Zitat:

Original von St.Phönix
Es müsste genau mit den Teilmengen gehen, wo |j-i|=5 ist, also $\begin{eqnarray*} (a,a^6); (a^2, a^7); (a^3, a^8); (a^4, a^9); (a^5, a^{10}=e) \end{eqnarray*}$ , alle anderen Stabilisatoren müssten einelementig sein. Alle Orbits, die zu einem zweielementigen Stabilisator gehören, wären aber nicht disjunkt, folglich identisch. Es gibt also exakt einen Orbit mit 5 Elementen. Es müsste also noch 4 weitere disjunkte Orbits mit 10 Elementen geben, das geht auch genau auf, denn es gibt jeweils nur einen (disjunkten) Orbit für jede mögliche Differenz j-i (Vorzeichen interessiert ja nicht und 0 ist wegen i ungleich j ausgeschlossen), d.h. für eine zyklische Gruppe der Ordnung 10 käme das hin.

Na also, geht doch... Freude

Freude

Zitat:

Original von St.Phönix
Das Problem ist ja, dass ich es für jede Gruppe der Ordnung 10 zeigen muss, also z.B. auch für die D5, welche ja nicht abelsch, und damit nicht zyklisch ist, wenn ich mich nicht irre. In so fern, nützt mir der Spezialfall der zyklischen Gruppe ja nichts.

Eine Frage: Hast du auch im Nachhinein noch das Gefühl, dass die Berechnungen für die zyklische Gruppe mit 10 Elementen ganz "umsonst" waren, oder ist es nicht viel mehr so, dass es wertvolle Einsichten vermittelt, wenn man an diesem einfachen Beispiel konkret sieht, wie der 5-elemenige Orbit hier wirklich zustande kommt... Insbesondere, dass dieser eine ausgesprochnen Seltenheit(!) ist, da für das Paar (u,v) in G² überaus spezielle Bedingungen erfüllen muss, damit sein Stabiliator nichtrivial ist (also nicht nur aus e besteht!), nämlich

$\begin{eqnarray*} vu^{-1}=uv^{-1} \quad (*) \end{eqnarray*}$

Diese Bedingungen sind natürlich i.allg. klar nicht erfüllt sind, und in unserem Beispiel hier haben 40 von den insgesamt 45 Paaren (u,v), d.h., mehr als 90% (!) nur den trivialen Stabilisator, womit der zugehörige Orbit dann 10-elementig ist...

Ich hoffe, du siehst nun auch, dass diese Überlegungen grundsätzlich auf alle anderen 10-elementigen Gruppen übertragbar sind, außer dass die tatsächliche Berechnung der Paare (u,v) mit nichttrivialem Stabilisator ein Spur komplizierter ist... Aber auch hier gilt, dass es außer e nur höchstens ein weiteres Element noch in ihm geben kann, in Abhängigkeit davon, ob (*) gilt oder nicht... Wenn du eine Fleißaufgabe machen willst, kannst ja für die Diedergruppe mit den zwei Erzeugenden a und b und den Relationen

$\begin{eqnarray*} a^5= b^2 =e, \quad ba =a^{-1}b \end{eqnarray*}$

diese (u,v) in G² mit nichttrivialem Stabilisator (und daher 5-elementigem Orbit!) auch noch bestimmen, aber wirklich notwendig ist es natürlich nicht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2012, 22:47

St.Phönix

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Danke nochmal, hast mir sehr geholfen smile

smile

28.05.2012, 23:09

Mystic

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Gerne...

smile

Übrigens kann man die Bedingung (*) oben auch so formulieren, dass das Gruppenelement

$\begin{eqnarray*} vu^{-1} (=uv^{-1}) \end{eqnarray*}$

selbstinvers sein muss und daher die Ordnung 2 hat, da wir ja u=v ausgeschlossen haben... Damit kann man das auch einprägsamer so formulieren: Genau dann hat {u,v} hat einen nichttrivialen Stabilisator, wenn es ein Element w der Ordnung 2 gibt, sodass u=wv ist...

Für die zyklische Gruppe der Ordnung 10 mit a als Erzeuger ist

$\begin{eqnarray*} w=a^5 \end{eqnarray*}$

das einzige(!) Element der Ordnung 2... Für die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_5 \end{eqnarray*}$ gibt es dagegen gleich 5 Elemente der Ordnung 2, nämlich

$\begin{eqnarray*} b,ba,ba^2,ba^3,ba^4 \end{eqnarray*}$

und dementsprechend dann auch 5 Orbits mit je 5 Elementen... Ist also fast eine Widerlegung dessen, was ich oben über die Seltenheit von nichttrivialen Stabilisatoren gesagt hatte, aber Ausnahmen bestätigen ja bekanntlich nur die Regel... Wink

Wink

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