Um welche Form des Abkühlungsprozesses handelt es sich? |
| 26.05.2012, 13:35 | Salitos83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Um welche Form des Abkühlungsprozesses handelt es sich? Hallo, ich hänge an dieser Matheaufgabe fest und brauche Hilfe! Eine heiße Flüssigkeit wird bei konstanter Umgebungstemp. von 20 Grad abgekühlt. Die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme kann durch die Funktion a(t)=-69*k*e^k*t nährungsweise beschrieben werden. a) Um welche Form der Abkühlung handelt es sich? b) Wie hoch war die Temperatur zu Beginn der Messung? Meine Ideen: Zu a) da durch k in der Funktion die abnahmegeschwindigkeit berechnet wird, müsste es sich um eine Funktion handeln, die immer die gleiche Abnahmegeschwindigkeit hat. Also wenn ich für k zum Beispiel 1 einsetzte dann habe ich eine Abnahme von 0,36.... Habe nicht wirklich Ahnung was ich da mache! Zu b) Also, erstmal kenne ich die Normalformel für Begrenztes Wachstum: f(x)=S+(f(0)-S)e^-k*x ... Aber ich habe zwei unbekannte in der gegebenen Ausgangsformel (k und t) und jetzt bin ich auch schon am Ende meines Lateins!!! BRAUCHE ECHT HILFE!!! |
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| 26.05.2012, 14:36 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Salitos, also die Gleichung a(t)=-69*k*e^k*t glaube ich dir nicht, die würde ja für t gegen unendlich divergieren... |
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| 26.05.2012, 14:45 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber auch nur für k>0 
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| 26.05.2012, 15:41 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Für k<0 geht's gegen Null, aber es soll doch auf 20 Grad abgekühlt werden?! EDIT: Ach so, die Geschwindigkeit. Okay, dann würde k<0 evtl. Sinn machen.Troptzdem vermute ich, dass da ein Minuszeichen im Exponenten fehlt: |
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| 26.05.2012, 15:46 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tja Dustin, dann lies dir das nochmal in Ruhe durch und versuche es dann erneut. Ich würde jedoch vorschlagen du gibst dann auch mal einen Hinweis, der hier weiterführt, denn bisher sind das alles nur Resultate deines mangelhaften Verständnisses der Aufgabe. Edit: Auch der Kommentar mit dem Minuszeichen ist völlig daneben... 
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| 26.05.2012, 16:42 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Bjoern: Du hast insofern recht, dass ich überlesen habe, dass a(t) die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme angibt, auch wenn es wahrscheinlich einfacher gewesen wäre, das direkt zu sagen. Ich hatte mich zunächst auf das fehlende Minuszeichen im Exponenten konzentriert (und nein, das ist nicht völlig daneben, da fehlt nun mal eins). Dass k>0 ist, wird in derartigen Parametergleichungen aus der Physik in der Regel vorausgesetzt. Ich hatte noch keine Hinweise gegeben, weil ich noch auf Salitos' Bestätigung des fehlenden Minuszeichens gewartet hatte. Also: Kritik prinzipiell angemessen, aber nicht in dem Maße. @Salitos: Ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass die Funktion richtig lautet. Du hast bei deinen Ideen zu Aufgabe b) auch schon eine Formel hingeschrieben. Jetzt bedenke, dass es sich bei der gegebenen Funktion a(t) um die Abnahmegeschwindigkeit handelt. Wofür ist dagegen deine Formel? Wie kommt man von dieser auf die Geschwindigkeit? Viele Grüße, Dustin |
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| 26.05.2012, 21:14 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
da das etwas mit Physik zu tun hat, ist t die Zeit > 0, die Stoppuhrzeit. Eine physikalische Konstante ( Abkühlkonstante )- hier k genannt- , macht nur Sinn, wenn sie positiv ist. Möchte somit Dustin ein wenig unterstützen... Aber auch in Mathe gibt es sowas: als eigenständige Formel macht nur Sinn, wenn b>0 gilt. Sonst kann man sie streichen und gleich nur die erste Bin. Formel verwenden. |
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| 27.05.2012, 09:24 | Salitos83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke erstmal für die Antworten, richtig schlau bin ich daraus noch nicht geworden. Die Funktion lautet wirklich a(t)= -69*k*e^k*t, mir fehlt da auch ein Plus Zeichen oder Minus zeichen um ein begrenztes Wachstum zu definieren. Unser Thema ist ja das begrenzte Wachstum zur Zeit. @ Dustin, bei dem Exponenten der Eulerischen Zahl kann man für k wahrscheinlich auch eine negative Zahl einsetzen, dann ist k<0 und somit haben wir eine Abnahme. Ich glaube ich verstehe was du mit a(t) ist die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme meinst. Das bedeutet ja das a(t)= -69*k*e^k*t die Ableitung einer Funktion sein muss, oder? Und der Bestannt dann A(t) sein müsste? Aber was beschreibt dann die -69 in der Funktion? Irgendwie habe ich zuwenig ansätze oder bin gedanklich einfach total auf dem Holzweg
.@ Dopap, muss die Abkühlungskonstante denn unbedingt positiv sein? In den vorherigen aufgaben war k wenn es um Abkühlung geht immer negativ. |
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| 27.05.2012, 09:38 | Salitos83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Um welche Form des Abkühlungsprozess handelt es sich? Also bei der Funktion beschreibt a(t)=-69*k*e^k*t, den Schnittpunkt mit der Y-Achse. Das ergibt aber keinen Sinn, da die "heiße Flüssigkeit" sich ja auf die Umgebungstemperatur von 20 Grad abkühlen soll und somit ja nicht bei -69 Grad starten kann. Es sei denn die Zahl k ist auch negativ und somit hätten wir ein positives Vorzeichen. HILFE! |
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| 27.05.2012, 11:24 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Um welche Form des Abkühlungsprozess handelt es sich?
Wieso? Du hattest doch vorher gesagt, du hast verstanden, dass a(t) nicht die Temperatur als Funktion der Zeit beschreibt, sondern die Geschwindigkeit der Abkühlung. Für geht die Temperatur gegen 20 °C. Die Geschwindigkeit der Abkühlung, also a(t) geht dann gegen 0. Das ergibt schon mal k < 0. Und daraus folgt a(t) > 0. Es sei T(t) die Temperatur als Funktion der Zeit. Dann ist die Änderungsgeschwindigkeit der Temperatur. Die ist positiv, wenn die Temperatur steigt und negativ wenn die Temperatur fällt. Es ist daher Durch Integration kriegst du daraus T(t) mit einer noch zu bestimmenden Integrationskonstanten. Die ergibt sich dann aus dem Grenzwert der Temperatur für große Zeiten. |
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| 27.05.2012, 11:39 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zumindest der Fragesteller Salitos83 hat es begriffen, dass es völlig schnuppe ist ob man nun mit k<0 oder mit k>0 schreibt. Huggy hat, während ich am Schreiben war, Gott sei Dank mal etwas Zielführendes gepostet. Als Ergänzung zur von Salitos vorgeschlagenen Formel für begrenztes Wachstum: Wir haben nun also mit k<0 Da es sich um begrenztes Wachstum handelt gilt mit A'(t)=a(t) und c=f(0)-S und daraus ergibt sich leicht die gesuchte Anfangstemperatur f(0). |
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| 27.05.2012, 18:36 | Salitos83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also Zu Aufgabe 1) Um welche Form des Abkühlungsprozesses handelt es sich. ANTWORT: Um einen begrenzten Abkühlungsprozess, weil die "heiße Flüssigkeit" nur bis zu einer Zimmertemperatur bis 20 Grad abkühlen kann. Ist diese Antwort richtig? Zu Aufgabe 2) Wenn a(t)=-69*k*e^k*t die Abkühlungsgeschwindigkeit angibt, dann gibt A(t)=-69*e^k*t+20 den Bestand an. Den Faktor -69 übernimmt man ja einfach bei der Kettenregel. Soweit richtig? Jetzt müsste ich ja um die Anfangstemperatur festzustellen t gleich 0 stellen, also A(0)=-69*e^k*o da e^k*o=1 ist, müsste der Anfangswert -69 sein. Aber das kann doch nicht sein, wie kann denn die "angeblich" heiße Flüssigkeit auf 20 Grad Umgebungstemperatur abkühlen? Die müsste sich bestenfalls erwärmen!? |
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| 27.05.2012, 20:41 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja.
Achtung Vorzeichen! Da hier k<0 ist, ist a(t) positiv und da es sich um eine Abnahmegeschwindigkeit handelt, gilt nicht A'(t)=a(t), sondern A'(t)=-a(t) (wie auch Huggy bereits schrieb). Und dann ist da noch ein weiterer Fehler:
Wo ist die Integrationskonstante hin? Also, alles nochmal sauber und richtig aufschreiben und dann bekommst du auch die Anfangstemperatur heraus! LG Dustin |
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| 28.05.2012, 12:07 | Salitos83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okey, hoffentlich mein letzter post für dieses Thema 
a(t)=-A(t) a(t)= -69*k*e^k*t A(t)= 69*e^k*t+20 Jetzt die Gleichung null stellen A(0)= 69*e^k*0+20 A(0)= 69*1+20 A(0)= 89 <- Ist doch richtig? Dann müsste der Startwert 89 Grad betragen! |
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| 28.05.2012, 12:26 | Dustin B | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(Ich bin Dustin, war nur zu faul, mich einzuloggen
) |
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| 28.05.2012, 12:43 | Salitos83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank für die Hilfe, habe für eine Matheaufgabe noch nie soviel Zeit investiert! |
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| 29.05.2012, 11:37 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na Hauptsache es hat sich gelohnt 
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