Zyklische Gruppen

26.05.2012, 15:01

Primi

Zyklische Gruppen

Meine Frage:
Für welche $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb Z _\geq 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | (\mathbb Z/m\mathbb Z)^{*} | \in \left\{ 4,6\right\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/m\mathbb Z)^{*} \end{eqnarray*}$ zyklisch?

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Idee, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

26.05.2012, 15:15

tmo

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Du könntest z.b. zunächst mal alle m bestimmen mit $\begin{eqnarray*} \varphi(m) \in \{4,6\} \end{eqnarray*}$

26.05.2012, 15:17

Mystic

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RE: Zyklische Gruppen
Naja, zuerst musst du wohl einmal die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \varphi(m)=4 \text{ bzw. }\varphi(m)=6 \end{eqnarray*}$

lösen, was nicht allzu schwer sein sollte... In beiden Fällen musst du dir einfach überlegen, was der größte Primfaktor von m sein kann und was eine obere Grenze für die Vielfachheiten der einzelnen Primfaktoren ist...

26.05.2012, 15:40

Primi

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Die Gleichungen sich also so lösen:

$\begin{eqnarray*} \varphi(m)=4 \ \end{eqnarray*}$ für m = 5, 8, 10, 12
und
$\begin{eqnarray*} \varphi(m)=6 \end{eqnarray*}$ für m = 7, 9, 14, 18

Aber wie finde ich jetzt raus, was der größte Primfaktor von m ist und die obere Grenze?

26.05.2012, 15:49

Mystic

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Hm, komisch, du gibst die richtigen Lösungen an und fragst dann, wie man darauf kommt? verwirrt

Für die erste Gleichung ist der größte Primfaktor offenbar 5, für die zweite 7... Ich hoffe, du benutzt die richtige Formel für $\begin{eqnarray*} \varphi(m) \end{eqnarray*}$ , nämlich die, wo keine Brüche vorkommen...

26.05.2012, 16:39

Primi

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Wie man auf die Lösungen kommt verstehe ich auch, und das 5 und 7 die jeweiligen Primfaktoren sind auch. Aber wie geht es dann weiter?

26.05.2012, 16:44

Mystic

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Hm, alles ein bißchen wirr hier... verwirrt

Kann es am Ende sein, dass du die Existenzbedingungen für Primitivwurzeln nicht kennst???

26.05.2012, 18:08

Primi

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Ehrlich gesagt, liegt mir dieses Thema nicht sonderlich.

Aber kann es sein, dass ich einmal

$\begin{eqnarray*} a^{n} \equiv 1 mod 5 \end{eqnarray*}$

und einmal

$\begin{eqnarray*} a^{n} \equiv 1 mod 7 \end{eqnarray*}$

bestimmen muss?

26.05.2012, 18:28

DHD

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Nutze aus dass die Einheitengruppe eines Körpers zyklisch ist und den chin. Restsatz sowie die Verträglichkeit von * mit dem Kreuzprodukt:
(AxB)*=A*xB*

Und das einem ein Thema nicht liegt ist eine billige Ausrede.

27.05.2012, 14:33

Lilifee

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Wenn ich auf die beiden Kongruenzen den chinesischen Restsatz anwende, erhalte ich $\begin{eqnarray*} a^{n}=1 \end{eqnarray*}$ . Stimmt das? Was bringt mir das jetzt?

27.05.2012, 14:40

DHD

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Zitat:

Wenn ich auf die beiden Kongruenzen den chinesischen Restsatz anwende,

(Ich nehme an das bezieht sich auf die beiden Kongruenzen von Primi?)
Wieso tust du das?

Zitat:

erhalte ich $\begin{eqnarray*} a^{n}=1 \end{eqnarray*}$ .Stimmt das?

Nein.

Zitat:

Was bringt mir das jetzt?

Gar nichts.

27.05.2012, 16:01

Lilifee

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Also sind die beiden Kongruenzen von Primi falsch?

Auf welche Kongruenzen muss ich den chinesischen Restsatz anwenden?

27.05.2012, 19:21

DHD

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Zitat:

Also sind die beiden Kongruenzen von Primi falsch?

Trotz Suggestivfrage: Nein, und das habe ich auch nur auch nur annähernde behauptet. Die beiden Kongruenzen haben schlicht nichts miteinander zu tun, das schreibt ja auch Primi: "einmal [...] und einmal"

Zitat:

Auf welche Kongruenzen muss ich den chinesischen Restsatz anwenden?

Auf gar keine. Wo diese Idee rausliest ist mir auch völlig schleierhaft. Ich rede vom stinknormalen chin. Restsatz.

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