Konvergenz von Folgen, Grenzwert beweisen

26.05.2012, 15:32	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Folgen, Grenzwert beweisen Meine Frage: Hallo Die Aufgabenstellung lautet, man solle entscheiden ob die Folge a_n konvergiert und ggf. soll der Grenzwert bestimmt werden. $\begin{eqnarray} a_{n} = (3n³+4n+8) / (4n²-1) \end{eqnarray}$ (Ich weiß nicht wie man einen großen Bruchstrich macht...?) Meine Ideen: Meine erste Idee war, dass sich die höchsten Pontenzen ja durchsetzen und somit ignorier ich den Rest erst mal. Dann hätte ich $\begin{eqnarray} a_{n} = (3n³) / (4n²) \end{eqnarray}$ bzw. nach Kürzung $\begin{eqnarray} a_{n} = (3n)/4 \end{eqnarray}$ Somit konvergiert die Folge (wenn n gegen unendlich strebt) gegen (3/4)n. Mein Problem ist jetzt nur, wie verpacke ich das in einen schönen Beweis? Wenn ich mir mal das Kriterium für Konvergenz angucke: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0 \exists N\in \mathbb N \forall n>N: \| a_{n} - a \| < \epsilon \end{eqnarray}$ (für $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_{n} =a \end{eqnarray}$ ) dann hab ich vor allem mit dem $\begin{eqnarray} \|a_{n}-a\| \end{eqnarray}$ Probleme. Vor allem weil ich nicht weiß ob ich für a_n jetzt von (3/4)n ausgehen kann oder ob ich vom ganzen Bruch (so wie er in der Aufgabe steht) ausgehen muss.... Für jegliche Ratschläge bin ich offen und dankbar
26.05.2012, 15:42	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Folgen, Grenzwert beweisen Wie kann man etwas beweisen, was gar nicht stimmt? Die Folge divergiert ja...
26.05.2012, 15:53	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh... ähm ok ^^ Das hätte ich mir ja vorher angucken können.... Ok, also dann muss ich halt die Divergenz beweisen. Also dass das Kriterium eben nicht gilt bzw dass ein solches N nicht existiert. Mein Hauptproblem ist dieser große Bruch....
26.05.2012, 15:58	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, den "großen Bruch" musst du eben jetzt nach unten abschätzen, indem du den Zähler nach unten, den Nenner aber nach oben abschätzt, was du ja schon im ersten Posting so gemacht hast... Daraus sollte dann folgen, dass die Folge nicht beschränkt ist, also divergiert...
26.05.2012, 16:02	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit "nach oben" bzw "nach unten" abschätzen...?
26.05.2012, 16:08	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Alo gut, dann noch detaillierter: Du kannst den Zähler deines Bruches durch 3n³ nach unten, den Nenner durch 4n² nach oben abschätzen, was dann insgesamt ergibt, dass der Bruch $\begin{eqnarray} \ge \frac{3n^3}{4n^2} =\frac {3n}4 \end{eqnarray}$ ist... Das sollte doch reichen, oder?
Anzeige

26.05.2012, 16:23	annemmi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar. Das hab ich ja schon gemacht (wie du auch selbst gesagt hast). Es ging mir jetzt rein um den Begriff "nach oben/unten abschätzen". Also abschätzen ist ja schon klar. Der Schritt vom kompletten Bruch auf das 3n³/4n² ist der Teil mit dem Abschätzen... Aber was heißt "nach oben/unten". Tut mir leid dass ich so blöd frage, aber das hab ich einfach noch nicht gehört...
26.05.2012, 17:01	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du einen Bruch a/b - nach unten abschätzen sollst, musst du den Zähler a nach unten, den Nenner b aber nach oben abschätzen - nach oben abschätzen sollst, musst du den Zähler nach oben, den Nenner aber nach unten abschätzen Den ersten Fall hatten wir doch hier in dieser Aufgabe, also hast du auch gleich das praktische Beispiel dazu... Sorry, aber tiefer kann ich jetzt nicht mehr gehen, irgendwo ist dann ein Schlusspunkt...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »