Unzulänglichkeit der rationalen Zahlen

27.01.2007, 15:17

Arwen_

Unzulänglichkeit der rationalen Zahlen

hallo

ich hätte da mal eine Frage an euch ^^'
und zwar hat uns unser Mathelehrer gesagt wir sollen uns einfach mal die Unzulänglichkeit der rationalen Zahlen durchlesen und ein paar Aufgaben dazu machen ohne dass er etwas dazu erklärt hat -.-'

und zwar wurde als beispiel die erklärung von 'euklid' an der wurzel aus zwei angeführt ...

darin heißt es, dass die wurzel aus zwei keine rationale zahl ist
beweis des euklid:
1. angenommen: die wurzel aus 2= p/q mit teilerfremden Zahlen p und q
2.2=p(hoch zwei)/q (hoch zwei)
3.2q (hoch zwei)= p(hoch zwei)
4.p(hoch zwei) ist durch zwei teilbar
5.p ist durch zwei teilbar. setze p =2r
6.q(hoch zwei)=2r(hoch zwei)
7.q(hoch zei) ist durch 2 teilbar
8.q ist durch 2 teilbar
dies ist mit 5. ein wiederspruch zu 1.

so das soll die angebliche reklärung dazu sein, dass die wurzel aus 2 keine rationale zahl ist

ich verstehe zwar das 2=p(hoch zwei)/q(hoch zwei) ist aber den rest leider nicht mehr wirklich traurig

könnte mir einer das vlt erklären??
DANKE!!

27.01.2007, 15:29

tigerbine

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RE: Unzulänglichkeit der rationalen Zahlen
Bitte editiere deinen Beitrag mit latex

hoch: ^{}

\: \frac{}{}

Danke!!!

27.01.2007, 15:30

sqrt4

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Also

Annahme:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$
Quadrieren ergibt:
$\begin{eqnarray*} 2=\frac{p^2}{q^2} \end{eqnarray*}$
Ab jetzt verstehst du´s scheinbar nicht mehr. Was passiert? Man nimmt beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ mal
Dann steht da:
$\begin{eqnarray*} 2q^2=p^2 \end{eqnarray*}$

Verständlich??

27.01.2007, 15:33

Arwen_

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okey das ist klar ... und dann? warum geht das nicht ... bzw was wiederspricht sich wo
*irritiert bin*

27.01.2007, 15:35

sqrt4

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Zitat:

Original von sqrt4
$\begin{eqnarray*} 2q^2=p^2 \end{eqnarray*}$

Ist es einleuchtend, dass aufgrund dieser Gleichung die Zahl p gerade ist ? (soll heißen, dass die Zahl durch 2 teilbar ist)

27.01.2007, 15:45

Arwen_

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ehm ja muss sie ja eigentlich laut der gleichung

27.01.2007, 15:48

sqrt4

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gut dann setzen wir das einfach mal in die Gleichung ein.

Also $\begin{eqnarray*} p=2r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2q^2=4r^2 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung teilt man jetzt durch 2
Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} q^2=2r^2 \end{eqnarray*}$

Hier haben wir wieder dasselbe wie oben. Auch hier muss q eine gerade Zahl sein.

Folglich muss sowohl q als auch r eine gerade Zahl sein, im Widerspruch zur Annahme

Edit: Dich verwirrt wahrscheinlich diese Annahme, dass p und q teilerfremd sind oder??

27.01.2007, 16:15

Arwen_

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ich glaub schon ... okey so mehr oder weniger hab ich das jetzt verstanden ... mh dann versuch ich das mal auf die andren aufgaben zu übertragen die wir noch machen sollen ^^
jedenfalls danke smile

27.01.2007, 19:45

system-agent

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genau dieses teilerfremd ist hier das schlagende argument, denn es bedeutet nur, dass die zahlen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ des bruches keine gemeinsamen teiler haben oder populärer gesagt: der bruch ist vollständig gekürzt.
der widerspruch entsteht dadurch, dass man im laufe des beweises zeigt, dass eigentlich $\begin{eqnarray*} p=2r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=2s \end{eqnarray*}$ , womit beide zahlen gerade sind und dass man sie daher auh kürzen kann (obwohl am anfang dieses teilerfremd gefordert war) Widerspruch!

28.01.2007, 17:24

Arwen_

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Okey das hab ich jetzt verstanden ^^' thx
aber wie erkläre ich nun anhand des beweises von Eulid, dass die Wuzeln aus 3;5;7 und 11 nicht rational sind verwirrt

28.01.2007, 18:42

sqrt4

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wieder mit dem selben Beweisverfahren.
Du nimmst wieder an, dass z.b $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ rational ist, sich also als Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden p,q darstellen lässt.

28.01.2007, 20:07

Arwen_

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also heißt das dann bei 2. 7=p(hoch zwei)/q(hoch zwei) sry ich weiß nicht wie man das hier schreibt -.-'
und bei 3. dann 7q(hoch zwei)=p(hoch zwei)
aber dann bei 4. p(hoch zwei ) ist durch 7 teilbar?? o.o

28.01.2007, 22:23

sqrt4

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ja geanu.
Überall wo vorher eine 2 stand steht jetzt eine 7.

Und ganz genau wie vorher folgt aus

$\begin{eqnarray*} 7q^2=p^2 \end{eqnarray*}$

dass p durch 7 teilbar ist.

P.s.

hier der Quelltext für meine Formeln
7q^2=p^2
Die Formeln musst du makieren und dann auf das Symbol oben (im Schreibmodus) mit dem f(x) klicken

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