Menge der algebraischen Zahlen abzählbar?

26.05.2012, 19:16

duboi

Menge der algebraischen Zahlen abzählbar?

Hi!

Da es sich um eine (für mich) sehr wichtige Abgabe handelt, habe ich gehofft, dass jemand meine Lösung des obigen Problems kritisch hinterfragen könnte, um etwaigen Unklarheiten oder Missverständnissen vorzubeugen.

Hier also die konkrete Fragestellung und mein Lösungsvorschlag:

Eine Zahl x > R heißt algebraisch, wenn es eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ und rationale Zahlen $\begin{eqnarray*} a_{0} ,a_{1} ,...,a_{n} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$
gibt, so dass $\begin{eqnarray*} a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + ...+ a_{1} x^{1} + a_{0} \end{eqnarray*}$ . Man beweise: Die Menge $\begin{eqnarray*} A _{\mathbb R } \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ aller algebraischen
Zahlen ist abzählbar.
Hinweis. Man zeige dazu, dass die Menge aller Polynome mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist und
benutze (ohne Beweis), dass ein Polynom n-ten Grades hochstens n Nullstellen hat

Lösungsvorschlag:
Sei n fest. Dann gibt es $\begin{eqnarray*} |\mathbb Z | \end{eqnarray*}$ verschiedene $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |\mathbb Z | \end{eqnarray*}$ verschiedene $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ ,..., $\begin{eqnarray*} |\mathbb Z | \end{eqnarray*}$ verschiedene $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ . Für ein Polynom n-ten Grades gibt es also $\begin{eqnarray*} | \mathbb Z | ^{n+1} \end{eqnarray*}$ verschiedene Kombinationen. Darin enthalten sind auch alle Polynome k-ten Grades mit $\begin{eqnarray*} n\geq k \end{eqnarray*}$ , denn diese ergeben sich durch Multiplikation von $\begin{eqnarray*} x^{n} ,...,x^{k+1} \end{eqnarray*}$ mit 0 und $\begin{eqnarray*} 0\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Da wir wissen, dass ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen hat, gilt:
$\begin{eqnarray*} | A_{\mathbb R } | \leq n\cdot | \mathbb Z |^{n+1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} |\mathbb Z |^{n+1} = | \mathbb Z \times \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z | \end{eqnarray*}$ ((n+1)-mal) ist abzählbar, da $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ abzählbar ist. n-mal abzählbar viele sind wieder abzählbar viele, woraus folgt, da $\begin{eqnarray*} | A_{\mathbb R } | \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n\cdot | \mathbb Z \times \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z | \end{eqnarray*}$ ((n+1)-mal), dass auch $\begin{eqnarray*} A_{\mathbb R } \end{eqnarray*}$ abzählbar ist.

26.05.2012, 19:20

duboi

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RE: Menge der algebraischen Zahlen abzählbar?
-VERBESSERUNG-

FRAGESTELLUNG:
...Eine Zahl $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt algebraisch,...

26.05.2012, 19:35

DHD

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Da du Kritik wolltest, kriegst du sie schonungslos:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} | A_{\mathbb R } | \leq n\cdot | \mathbb Z |^{n+1} \end{eqnarray*}$

Das folgt nicht aus deinem Gedankengang zuvor, denn du kannst dein n schlicht nicht fest wählen. Du tust so als gäbe es ein maximales n mit: Ist a algebraisch, so hat das Polynom das davon zeugt maximal Grad n- das ist falsch.

Zitat:

Für ein Polynom n-ten Grades gibt es also $\begin{eqnarray*} | \mathbb Z | ^{n+1} \end{eqnarray*}$ verschiedene Kombinationen.

Falsch. Du korrigierst dich ja auch schon selber im nächsten Satz: Es gibt ... Pol. vom Grad kleiner gleich n. Auch was kombinationen eines Polynomes sein sollen ist mir schleierhaft. (Die meinst eigentlich Anzahl verschiedener Polynome)

Zitat:

denn diese ergeben sich durch Multiplikation von $\begin{eqnarray*} x^{n} ,...,x^{k+1} \end{eqnarray*}$ mit 0 und $\begin{eqnarray*} 0\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Keine Ahnung was das sagen soll.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |\mathbb Z |^{n+1} = | \mathbb Z \times \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z | \end{eqnarray*}$

Wozu das Kreuzprodukt?

Zusammenfassung:
Die hast wohl grob verstanden wie die Beweisidee ist. Aber der Aufschrieb weißt deutliche Schwächen auf.

27.05.2012, 10:21

Mystic

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Ja, für mich wäre diese Darstellung auch ganz und gar unbefriedigend... Das beginnt mit der Definition einer algebraischen Zahl, wo in der Definition diie Koeffizienten des Polynoms rationale, statt ganze Zahlen sind und endet mit der Frage, warum eigentlich nirgends eine explizite Abzählung angegeben wird...

Dabei wäre letzteres so einfach: Man ordnet einfach jeder algebraischen Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ seine Höhe

$\begin{eqnarray*} h(\alpha) = n+|a_0|+|a_1|+\ldots+|a_n| \end{eqnarray*}$

zu, wobei die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ sind die Koeffizienten eines irreduziblen Polynoms $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ , welches $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ als Nullstelle besitzt, sind und nummeriert dann die algebraischen Zahlen so durch, dass sich für die Vektorren

$\begin{eqnarray*} (h(\alpha),n,a_n,a_{n-1},\ldots, a_0) \end{eqnarray*}$

eine lexikographische Ordnung ergibt...

27.05.2012, 14:43

duboi

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Zitat:

Original von DHD

Zitat:

$\begin{eqnarray*} | A_{\mathbb R } | \leq n\cdot | \mathbb Z |^{n+1} \end{eqnarray*}$

Damit mir vorzustellen, bzw. zu zeigen, dass eine unendliche Menge abzählbar ist, habe ich auch nach wie vor Probleme. Vielleicht könntest du mir hier einen Tipp geben?

Zitat:

Original von DHD

Zitat:

Für ein Polynom n-ten Grades gibt es also $\begin{eqnarray*} | \mathbb Z | ^{n+1} \end{eqnarray*}$ verschiedene Kombinationen.

Die Polynome vom Grad kleiner als n sind ja aber in dieser Menge schon enthalten, denn...

Zitat:

denn diese ergeben sich durch Multiplikation von $\begin{eqnarray*} x^{n} ,...,x^{k+1} \end{eqnarray*}$ mit 0 und $\begin{eqnarray*} 0\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Damit meinte ich (nehmen wir als Beispiel n=2), dass ich bei meiner Zählung ja auch die Polynome a1*x^2+a2*x+a3 mit a1=0 mitgezählt habe, sodass in dieser Menge auch die Polynome ersten Grades enthalten sind (denn Null ist ja auch eine ganze Zahl).
Mit den "verschiedenen Kombination" für ein Polynom n-ten Grades meinte ich verschiedene Kombinationen n-vieler ganzer Zahlen, also wie du schon gesagt hast die Anzahl verschiedener Polynome.

Zitat:

Original von DHD

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |\mathbb Z |^{n+1} = | \mathbb Z \times \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z | \end{eqnarray*}$

Wozu das Kreuzprodukt?

Hiermit ist eine Verknüpfung gemein. Ein Element dieser Menge sähe dann quasi so aus: (z1, z2,..., zn). Wobei zx eine Ganze Zahl ist.

Zitat:

Original von Mystic
Ja, für mich wäre diese Darstellung auch ganz und gar unbefriedigend... Das beginnt mit der Definition einer algebraischen Zahl, wo in der Definition diie Koeffizienten des Polynoms rationale, statt ganze Zahlen sind und endet mit der Frage, warum eigentlich nirgends eine explizite Abzählung angegeben wird...

Das habe ich vergessen zu erwähnen: dadurch, dass die Polynome gleich Null gesetzt werden, dachte ich, es sei erlaubt mit dem Hauptnenner zu multiplizieren, ohne dass sich die Nullstellen des Polynoms verändern.
Von der Höhe einer Algebraischen Zahl hab ich bis jetzt noch nichts gehört, werde mich da jetzt mal versuchen reinzulesen.

Vielen Dank an euch beide erstmal!

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