Harmonie einer Funktion beweisen

27.05.2012, 11:04	Flip01	Auf diesen Beitrag antworten »
Harmonie einer Funktion beweisen Meine Frage: Hallo zusammen, leider komme ich bei der folgenden Aufgabe einfach nicht weiter. Ich würde mich über Tips sehr freuen: Zeigen Sie, dass die Funktion u(x,y)= $\begin{eqnarray} \frac{1-x²-y²}{(1-x²)+y²} \end{eqnarray}$ auf B1(0) eine harmonische Funktion ist. Meine Ideen: Die Berechnung mit dem Laplace-Operator wird ziemlich aufwendig. Auch nach dem Umschreiben in Polarkoordinaten und dem Laplace-Operator für Polarkoordinaten sah es bei mir nicht wirklich schöner aus. Meine erste Idee ist gewesen, die Mittelwerteigenschaft zu zeigen. Leider ist die Funktion für (1,0) und (-1,0) nicht definiert und damit nicht stetig.
27.05.2012, 11:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Harmonie einer Funktion beweisen $\begin{eqnarray} \frac{1-x^2-y^2}{1-x^2+y^2} = 1 - \frac{2y^2}{1-x^2+y^2} = - 1 -2 \frac{1-x^2}{1-x^2+y^2} \end{eqnarray}$ Wenn ich mich gerade nicht vertan hab. Die erste Variante lässt sich leichter nach x, die zweite leichter nach y ableiten. Allerdings schätze ich du wirst um rechnen nicht umher kommen.
27.05.2012, 12:42	Mojen1608	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Harmonie einer Funktion beweisen Ich denke, dass flip01 nicht u(x,y)= $\begin{eqnarray} \frac{1-x²-y²}{(1-x²)+y²} \end{eqnarray}$ meint, sondern es u(x,y)= $\begin{eqnarray} \frac{1-x²-y²}{(1-x)²+y²} \end{eqnarray}$ lauten muss.
27.05.2012, 13:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
... dann wäre es jedenfalls der Realteil von $\begin{eqnarray} \frac{1+z}{1-z} \end{eqnarray}$

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