sinus cosinus und ein spitzer Winkel

27.05.2012, 18:10

Muffin 32

sinus cosinus und ein spitzer Winkel

Meine Frage:
Ich will zeigen dass für einen Winkel $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<90° \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{sin(\alpha)})*(1+\frac{1}{cos(\alpha)})>5 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe schon alle möglichen Additionstheoreme ausprobiert um die Gleichung in eine Form zu bringen, an der dies leichter zu zeigen ist, aber ich drehe mich leider im Kreis.

Mein letztes Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} cos \alpha +sin\alpha +1>4sin\alpha cos\alpha \end{eqnarray*}$

Hat jemand vielleicht einen guten Tipp oder weiß wie man so etwas zeigt?

27.05.2012, 18:48

kgV

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Wenn du die linke Seite ausmultiplizierst, bekommst du
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{sin\alpha}+\frac{1}{cos\alpha}+\frac{1}{sin\alpha *cos\alpha} > 5 \end{eqnarray*}$

Nenner elimineren:
$\begin{eqnarray*} 1+sin\alpha *cos\alpha+cos\alpha+ sin\alpha > 5 \end{eqnarray*}$

Das kann nicht hinhauen...

edit:
RIESENFEHLER!! sry
hab die rechte Seite nicht mit erweitert..
$\begin{eqnarray*} 1+sin\alpha *cos\alpha+cos\alpha+ sin\alpha > 5sin\alpha cos\alpha \end{eqnarray*}$

Damit geht es wieder

27.05.2012, 18:48

original

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RE: sinus cosinus und ein spitzer Winkel

Zitat:

Original von Muffin 32
Meine Frage:
Ich will zeigen dass für einen Winkel $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<90° \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{sin(\alpha)})*(1+\frac{1}{cos(\alpha)})>5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos \alpha +sin\alpha +1>4sin\alpha cos\alpha \end{eqnarray*}$

vielleicht so:

berechne die Extrema von

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 + \cos(x) +\sin(x) - 2\cdot \sin(2x) \end{eqnarray*}$

und du wirst sehen, dass im Intervall 0<x<pi/2 der kleinste Wert von f bei x=pi/4 sein wird

.. und nun musst du nur noch herausfinden, dass f(pi/4) > 0 ist .. smile

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \cos(x) -\sin(x) - 4\cdot \cos(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \cos(x) -\sin(x) - 4\cdot ( \cos^2(x)-\sin^2(x) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) =[ \cos(x) -\sin(x)] \cdot [ 1 - 4\cdot ( \cos(x)+\sin(x))] \end{eqnarray*}$

und wann ist nun dieses Produkt =0 ?
.... im Intervall 0<x<pi/2 ...
usw..

27.05.2012, 20:26

Muffin 32

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RE: sinus cosinus und ein spitzer Winkel
Das Produkt ist =0 , wenn x=pi/4 UND wenn cos x + sin x=1/4 oder nicht?

Wenn nur x=pi/4 die Lösung wäre könnte ich mit der 2.Ableitung zeigen das es sich um ein Minimum handelt und eingesetzt in die ursprüngliche Gleichung ergibt sich etwas >5 womit alles gezeigt wäre, richtig?

Aber was ist mit der zweiten Lösung oben?

27.05.2012, 21:56

riwe

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RE: sinus cosinus und ein spitzer Winkel
eventualvariante eines ahnungslosen:
zeige, dass gilt

$\begin{eqnarray*} cos\alpha+sin\alpha>2sin2\alpha-1 \end{eqnarray*}$

was man durch quadrieren - so erlaubt verwirrt

- leicht zeigt

27.05.2012, 22:23

Muffin 32

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RE: sinus cosinus und ein spitzer Winkel
glaube nicht, dass es so einfach ist.

$\begin{eqnarray*} (cos\alpha+sin\alpha)^{2} >(2sin2\alpha-1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow cos^{2}\alpha+2*cos\alpha*sin\alpha+sin^{2}\alpha>4sin^{2}2\alpha-4sin2\alpha+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha>4sin^{2}2\alpha-4sin2\alpha-2*cos\alpha*sin\alpha+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4sin^{2}2\alpha-4sin2\alpha-2*cos\alpha*sin\alpha<0 ? \end{eqnarray*}$

27.05.2012, 22:39

Muffin 32

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RE: sinus cosinus und ein spitzer Winkel
Es funktioniert! Vielen Dank!

Ein bisschen umstellen und es folgt:
$\begin{eqnarray*} 4sin2\alpha<5 \end{eqnarray*}$
Was immer gilt.

27.05.2012, 23:28

riwe

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RE: sinus cosinus und ein spitzer Winkel
Augenzwinkern

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