Metrische Normalform bestimmen

27.05.2012, 19:32

schneckenpudding

Metrische Normalform bestimmen

Meine Frage:
Hiho, ich habe eine gegebene Hyperfläche 2.Ordnung
H = { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R^2 | $\begin{eqnarray*} \frac{8}{5} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x1^2 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac {12}{5} \end{eqnarray*}$ x1x2+ $\begin{eqnarray*} \frac{17}{5} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x2^2 \end{eqnarray*}$ -4 $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ x1 -6 $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ x2+13=0}. Jetzt muss ich den Typ von H bestimmen, indem ich die metrische Normalform berechne.

Meine Ideen:
Als erstes muss ich die Gleichung in Matrizenschreibform schreiben. Da bin ich mir unsicher. Ich hab da (x1,x2) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{8}{5} & \frac{12}{5}\\ \frac{12}{5} & \frac{17}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +(-4 $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ +6 $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +13=0 raus. Könnt ihr mir sagen, ob das richtig ist.
Dann muss ich ja die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, oder ?
Muss ich das dann noch normieren ?

29.05.2012, 11:29

DP1996

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RE: Metrische Normalform bestimmen

Zitat:

Original von schneckenpudding
Ich hab da [...] $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{8}{5} & \frac{12}{5}\\ \frac{12}{5} & \frac{17}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt nicht ganz. Die Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, sollten noch durch zwei geteilt werden, dann passt es.

Zitat:

Dann muss ich ja die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, oder ?
Muss ich das dann noch normieren ?

Ja und ja. Sinn des ganzen ist es, die Matrix oben orthogonal zu dagonalisieren, und da die Matrix oben symmetrisch ist, klappt das auch (nach dem Hauptachsentheorem).

Ach ja: Wenn du schon Latex für eine Gleichung verwendest, schreib doch bitte die ganze Gleichung mit Latex. Sieht einfach schöner und einheitlicher aus und ist angenehmer zu lesen.

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