Zeilenvektor / Spaltenvektor

27.01.2007, 16:12

Red_Wraith

Zeilenvektor / Spaltenvektor

Wenn in einer Aufgabe die Vektoren in der Form (1, 2, 3) angegeben sind, darf man die dann auch einfach als Spaltenvektoren schreiben (und z.B. auch den von ihnen aufgespannten Unterraum)? Kann man mit Zeilenvektoren grundsätzlich genauso verfahren, wie bei Zeilenvektoren (lineare Abhängigkeit, Basis, Unterraum aufspannen usw.)? Ich arbeite nämlich lieber mit Spaltenvektoren als mit Zeilenvektoren.

Ich bin eigentlich immer davon ausgegangen, dass (1, 2, 3) das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
weil bei mir im Mathe-LK waren in der Klausur immer Vektoren als Zeilenvektoren angegeben waren, aber jeder beim Rechnen Spaltenvektoren hingeschrieben hat.
Jedoch habe ich gehört, dass (1, 2, 3) transponiert, das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Demnach dürfte man Vektoren, die als Zeilenvektoren angegeben sind, nicht einfach als Spaltenvektoren schreiben, sondern nur als Spaltenvektoren mit dem t wie "transponiert".

Was ist nun richtig?

Außerdem: Bedeutet (1 2 3) das gleiche wie (1, 2, 3) ?

27.01.2007, 16:21

tigerbine

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RE: Zeilenvektor / Spaltenvektor
Also Vektoren werden überlicherweise als Spaltenvektoren geschrieben.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= (1,2,3)^T \end{eqnarray*}$

In der Schule wird oft eine Zeilendarstellung gewählt, die aber aus der Koordinatendarstellung stammt. A(1,2,3).

Ob(1 2 3 ) = (1,2,3)

hängt von Eurer Notation ab.

27.01.2007, 16:42

Red_Wraith

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RE: Zeilenvektor / Spaltenvektor

Zitat:

Original von tigerbine
Also Vektoren werden überlicherweise als Spaltenvektoren geschrieben.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= (1,2,3)^T \end{eqnarray*}$

Das heißt also, dass man angegebene Zeilenvektoren nicht einfach als Spaltenvektoren interpretieren darf, ohne das t anzugeben?

Sind dann die beiden Unterräume identisch?:
$\begin{eqnarray*} U = \{(x,y,z) | z = 0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W = \{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} | z = 0 \} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tigerbine
In der Schule wird oft eine Zeilendarstellung gewählt, die aber aus der Koordinatendarstellung stammt. A(1,2,3).

Und die Auffassung der Vektoren als Punkte ist in der Hochschulalgebra nicht üblich?

27.01.2007, 17:06

tigerbine

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RE: Zeilenvektor / Spaltenvektor
- Richtig, Du musst das ^T angeben.

- Nein, die sind nicht identisch.

- Vektoren sind Elemente eines Vekotrraums. Keine Punkte. In der Schule wurde als Repräsentant immer der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{OA} \end{eqnarray*}$ betrachtet. D.h. vom Urspung des koordinatensystems zum Punkt A.

Insgesamt muss man sich klar machen, was diese ()-Darstellung eines Vektors bedeutet. Es sollen mit ihm die Koeffizienten der Linearkombination der Basisvektoren festgehalten werden.

$\begin{eqnarray*} v = \sum_{k=1}^n a_k\cdot e_k \end{eqnarray*}$

Deswegen kommt es auch in Linearen Algebra Büchern in den Ersten Kapitel oft zu einer Darstellung in der Form

$\begin{eqnarray*} v=(a_1,...,a_n) \end{eqnarray*}$

Was man an dieser Stelle als reine Definitionssache ansehen kann. Führt man dann jedoch Matrizen und die damit verbundene Rechnung ein, so ist eben:

$\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n) \neq \begin{pmatrix}a_1 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Deswegen solltest Du dir die zweite Schreibweise aneignen, um spätere Probleme zu vermeiden.

27.01.2007, 17:44

Red_Wraith

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RE: Zeilenvektor / Spaltenvektor

Zitat:

Original von tigerbine
- Nein, die sind nicht identisch.

Kannst du mir sagen, was die beiden Unterräume voneinander unterscheidet?
Beide sind doch zweidimensionalen Unterräume des R³ und geometrisch lassen sie sich als Ebenen im R³ interpretieren (welche identisch sind), oder?

Danke für die bisherigen Antworten.

27.01.2007, 17:57

tigerbine

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RE: Zeilenvektor / Spaltenvektor
wie gesagt, es kommt darauf an, wie man die Klammern Schreibweise () übersetzt.

- Sollen einfach nur die Koeffizienten der Linearkombinationsdarstellung wiedergegeben werden, so sind beide gleich. Jedoch muss man sich im Grunde per Definition für eine Notation entscheiden.

- Man kann sie aber auch als 1x3 bzw 3x1 Matrizen auffassen. Also solche stellen sie unterschiedliche lin. Abbildungen dar.

$\begin{eqnarray*} (1,2,3): \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

27.01.2007, 18:16

Red_Wraith

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RE: Zeilenvektor / Spaltenvektor
Okay, jetzt ist mir alles klar, denke ich. Vielen Dank, tigerbine.

27.01.2007, 18:19

tigerbine

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RE: Zeilenvektor / Spaltenvektor
You're welcome Wink

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