Aufgaben zu Folgen, explizite Formeln

28.05.2012, 10:59

Moritz1990

Aufgaben zu Folgen, explizite Formeln

Meine Frage:
Hallo,

ich habe Schwierigkeiten bei meinen Matheaufgaben und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte:

1) Ich suche eine explizite Formel zu der folgenden Rekursionsformel:
x0=2 x1=2 xn+1= 2xn - 2xn-1

(die Zahlen 0, 1, n und n-1 hinter den x sollen eigentlich im Index
stehen)

Ich habe schon die nächsten Folgenglieder bestimmt: x2=0 x3=-4
x4=-8 x5=-8 x6=0

Ich komme aber nicht auf die Rekursionsfoemel!
Könnte mir jemand weiterhelfen?

2) Mit dieser Aufgabe komme ich gar nicht zurecht:

Sei u eine positive reelle Zahl. Bestimmen Sie explizite Formeln für
die folgendermaßen rekursiv definierten Zahlenfolgen.

a) x1=2 xn+1=3xn -u
(n und n+1 sollen wieder im Index von x stehen)

b) x1=2 xn+1=uxn-4

c) x1=2 xn+1=(u-1)xn-u

Könnte mir hier vielleicht jemand die gesamte Aufgabe vorrechnen?
Danke!

3) Ich sollte für die Folge 1,-2,1 eine rekursive Formel und danach
eine explizite Formel bestimmen und diese mit Induktion beweisen.
Mein Ergebnis: rekursiv: xn+1=-xn-1
explizit: -1/2*(-1)^n+3/2

Allerdings scheitere ich hier, die explizite Formel per Induktion
nachzuweisen, da ich als letzten Summanden immer -5/5 anstatt 3/2
herausbekomme...

Könnt ihr mir helfen?

Vielen, vielen Dank!!!

Moritz

Meine Ideen:
Hallo,

ich habe Schwierigkeiten bei meinen Matheaufgaben und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte:

1) Ich suche eine explizite Formel zu der folgenden Rekursionsformel:
x0=2 x1=2 xn+1= 2xn - 2xn-1

(die Zahlen 0, 1, n und n-1 hinter den x sollen eigentlich im Index
stehen)

Ich habe schon die nächsten Folgenglieder bestimmt: x2=0 x3=-4
x4=-8 x5=-8 x6=0

Ich komme aber nicht auf die Rekursionsfoemel!
Könnte mir jemand weiterhelfen?

2) Mit dieser Aufgabe komme ich gar nicht zurecht:

Sei u eine positive reelle Zahl. Bestimmen Sie explizite Formeln für
die folgendermaßen rekursiv definierten Zahlenfolgen.

a) x1=2 xn+1=3xn -u
(n und n+1 sollen wieder im Index von x stehen)

b) x1=2 xn+1=uxn-4

c) x1=2 xn+1=(u-1)xn-u

Könnte mir hier vielleicht jemand die gesamte Aufgabe vorrechnen?
Danke!

3) Ich sollte für die Folge 1,-2,1 eine rekursive Formel und danach
eine explizite Formel bestimmen und diese mit Induktion beweisen.
Mein Ergebnis: rekursiv: xn+1=-xn-1
explizit: -1/2*(-1)^n+3/2

Allerdings scheitere ich hier, die explizite Formel per Induktion
nachzuweisen, da ich als letzten Summanden immer -5/5 anstatt 3/2
herausbekomme...

Könnt ihr mir helfen?

Vielen, vielen Dank!!!

Moritz

28.05.2012, 16:34

Totto-GE

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RE: Aufgaben zu Folgen, explizite Formeln
nur zu (1) ...

rechne ca. 20 Folgenglieder und stelle fest, nach 4 Folgengliedern tritt eine Gesetzmäßigkeit ein, sodass du aufstellen kannst ...

$\begin{eqnarray*} x_{4k}= \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{4k+1}= \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{4k+2}= x_{4k+3}= \cdots \end{eqnarray*}$

Dies beweist du mit vollst. Induktion, dh. das nächste 4-er Paket hat die gl. Gestalt.

Damit wäre die explizite Formel ...

$\begin{eqnarray*} x_n=\begin{cases} & \cdots ~, \rm{~falls~}n=4k \\ & \cdots ~,\rm{~falls~} n=4k+1 \\ & \cdots ~,\rm{~falls~} n=4k+2 \\ & \cdots ~, \rm{~falls~}n=4k+3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

28.05.2012, 18:57

Moritz1990

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RE: Aufgaben zu Folgen, explizite Formeln
Danke!
Das hilft mir schon ein wenig weiter.

Für n=4k+2 gilt: xn=0

Aber wie kann ich die Folgen für n=4k=4k+1 und für n=4k+3 explizit darstellen?

Muss ich die Induktion dann für jede der vier (bzw drei) Formeln durchführen?

Kann mir auch jemang bei den anderen Aufgaben weiterhelfen?

Vielen vielen Dank!

Moritz

28.05.2012, 22:23

Totto-GE

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RE: Aufgaben zu Folgen, explizite Formeln
zu (1) ... hatte vorher einen falschen Anfang $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ gelesen

daher [explizit]: $\begin{eqnarray*} x_n=\begin{cases} \cdots & ~, \rm{~falls~}n=4k \\ \cdots& ~,\rm{~falls~} n=4k+1 \\ 0 & ~,\rm{~falls~} n=4k+2 \\ (-1)^{k+1}\,4^{k+1} & ~, \rm{~falls~}n=4k+3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

und ja, Induktion für jede der 4 Fälle ... (oder du findest eine 'geschlossene Form')

*sorry* ... daher noch etwas...

... zu (3) ... Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)~=~(1~,~-2~,~1-2~,~\ldots) \end{eqnarray*}$

expliziter Ansatz: $\begin{eqnarray*} x_n = \dfrac{a\,(-1)^n +b}{2} \end{eqnarray*}$
ergibt für $\begin{eqnarray*} n=0,1 \end{eqnarray*}$ ein Glg.System in $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ...

rekursiver Ansatz (falls man es nicht sofort sieht):
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=a\,x_n + b\,x_{n-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=1,2 \end{eqnarray*}$ ergibt Glg.System in $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ und
damit $\begin{eqnarray*} x_{n+1}= \ldots \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0=1~,~x_1=-2 \end{eqnarray*}$
_______________

PS.: $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ ist nicht schwer ...
Fährt man mit der Maus auf eine Formel, kann man 'abgucken' ...

29.05.2012, 01:51

Totto-GE

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RE: Aufgaben zu Folgen, explizite Formeln
Nachtrag
zu (1) ... $\begin{eqnarray*} x_0=x_1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}= 2\,(x_n - x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$
falls dir die Fallunterscheidungen nicht gefallen ...

Das charakteristische Polynom der rekursiven Folge ist
$\begin{eqnarray*} \chi(x)=x^2-2x+2 \overset{!}{=} 0 \iff x = 1 \pm i \end{eqnarray*}$

Beide Folgen $\begin{eqnarray*} (1\pm i)^n \end{eqnarray*}$ erfüllen die rek.Glg. (oh. Anf.Bed.) ... [Ind.Bew.]
Also auch ihre lin.Komb. $\begin{eqnarray*} \lambda_1(1 + i)^n + \lambda_2(1- i)^n \end{eqnarray*}$ ... [einf.Bew.]
Bestimme $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$ über ein $\begin{eqnarray*} 2 \times 2 \end{eqnarray*}$ Glg.Sys. ... oder [scharfes Hinsehen]
(aus der Anfangsbedingung)

Damit haben wir eine explizite, geschl. Form: $\begin{eqnarray*} x_n=(1 + i)^n + (1- i)^n \end{eqnarray*}$
Gefällt uns diese komplexe Darstellung nicht , dann ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lcl}<br /> ~ & 1 \pm i &= \sqrt{2}\,e^{\pm i \frac{\pi}{4}}\\ \Rightarrow & (1 \pm i)^{\,n} &= \sqrt{2}^{\;n}\,e^{\pm i\, n \frac{\pi}{4}} \\ \Rightarrow & x_n &= 2\, \sqrt{2}^{\;n} \cos(n \dfrac{\pi}{4}) \end{array} \end{eqnarray*}$
eine explizite, geschlossene, reelle Darstellung Wink

____________

PS.: Es reicht natürlich auch der Nachweis über [Induktion] , dass die (letzte) explizite Darstellung mit der rekursiven für $\begin{eqnarray*} \forall \,n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ übereinstimmt ...

29.05.2012, 23:05

Moritz1990

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Vielen Dank!
Könntest du mir so eine Induktion vll an einem der Fälle, z.b. für n=4k vorrechnen?
Das wär toll smile

Danke nochmal!

30.05.2012, 13:17

Valdas Ivanauskas

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RE: Aufgaben zu Folgen, explizite Formeln

Zitat:

Original von Moritz1990
Meine Frage:
1) Ich suche eine explizite Formel zu der folgenden Rekursionsformel:

$\begin{eqnarray*} x_0=2,~ x_1=2,~ x_{n+1}= 2x_n - 2x_{n-1} \end{eqnarray*}$

Eine kleine Rechnung führt zur expliziten Formel

$\begin{eqnarray*} x_n:=(1+i)^n+(1-i)^n \end{eqnarray*}$

die sich übrigens auch tadellos induktiv verifizieren lässt.

Alternativ könnte man übrigens auch

$\begin{eqnarray*} x_n:=2\sqrt{2^n}\sin\left(\pi\frac{n+2}4\right) \end{eqnarray*}$

betrachten.

30.05.2012, 13:22

Valdas Ivanauskas

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RE: Aufgaben zu Folgen, explizite Formeln
Ups,
hatte ne Weile nicht refreshed und somit Totto-GE's Beitrag von heute früh übersehen.
Somit ist mein obiger Beitrag natürlich obsolet.

Sorry!

30.05.2012, 16:56

Moritz1990

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Könnte mir jemand die Induktion vll an einem der Fälle, z.b. für n=4k vorrechnen?
Vielen vielen Dank!

30.05.2012, 17:19

Valdas Ivanauskas

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Lös Dich mal gedanklich von diesen Fällen und zeige einfach, dass

$\begin{eqnarray*} x_n:=(1+i)^n+(1-i)^n \end{eqnarray*}$

der Rekursionsformel genügt.

Den Induktionsanfang solltest Du entsprechend für n=0 und n=1 durchführen.

Im Induktionsschritt(n, n+1 -> n+2) zeigst Du dann, dass

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(1+i)^{n+2}+(1-i)^{n+2}}_{=x_{n+2}}=2\left(\underbrace{ (1+i)^{n+1}+(1-i)^{n+1}}_{=x_{n+1}}\right)-2\left(\underbrace{ (1+i)^n+(1-i)^n}_{=x_n}\right) \end{eqnarray*}$

30.05.2012, 19:45

Moritz1990

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Ok... aber was ist i ??

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