Konvergenz von Folgen - Herangehensweise

27.01.2007, 16:40

Fulge

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Konvergenz von Folgen - Herangehensweise

Hallo Leute,

wie geht man denn richtig und strukturiert vor wenn man eine Folge hat die man auf Konvergenz überprüfen soll und ggf. den Grenzwert angeben soll.

In der VL hatte ich so das Gefühl, dass das alles mit scharfem Hingucken geschieht. Oder kann man es letztendlich "schematisch / mathematisch" ermitteln?

Nehmen wir mal das Beispiel $\begin{eqnarray*} a_n = 3^{n} * 2^{-2n} \end{eqnarray*}$

Also wenn ich mir das so angucken geht das gegen + Unendlich, aber das ist halt auch nur so im Kopf überlegt, wenn es vertraktere Folgen werden wird das ja nicht mehr funktionieren.

27.01.2007, 16:41

Fulge

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ich meine gegen 0, Sorry.

27.01.2007, 17:09

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} a_n = 3^{n} * 2^{-2n} = \frac{3^n}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$

27.01.2007, 17:52

Fulege

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Ok, die Umstellung ist mir klar. Aber wie interpriert man diese nun?

27.01.2007, 17:58

tigerbine

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In dem Du noch weiter umstellst - n ausklammern. Begründest warum alle Folgenglieder größer 0 sind (untere Schranke) und zeigst, dass die Folge streng monoton fallen ist.

27.01.2007, 20:04

brain man

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Alternativ kannst du auch über vollständige Induktion zeigen, dass die Folge :

$\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{3^n}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, indem du zeigst, dass

$\begin{eqnarray*} 2^{2n}> 3^{n} \end{eqnarray*}$

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27.01.2007, 20:06

Calvin

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@brain man

das reicht nicht, denn $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n}{n+1}\not\to 0 \end{eqnarray*}$ und erfüllt deine Bedingung.

28.01.2007, 17:20

Fulge

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Mhh, also dann noch n ausklammern. Wie sieht das aus? Es müsste sich doch dann aber alles wegkürzen damit da 0 rauskommt oder? Kann leider noch nicht ganz folgen.

28.01.2007, 17:23

Calvin

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Mit einfachen Potenzgesetzen kann die Folge umformen:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3^n}{2^{2n}}=\frac{3^n}{\left(2^2\right)^n}=\left(\frac{3}{4}\right)^n \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 18:06

Fulge

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Nicht böse sein, aber diese Mathematiker Antworten sind schon cool Big Laugh

Big Laugh

Oder ich bin einfach zu blöd.

Und das da dann 0 rauskommt sieht man oder kann man das auch ausrechnen???

Also man könnte ja auch schreiben $\begin{eqnarray*} \frac{3^{n}}{4^{n}} \end{eqnarray*}$

Ist die Begrünung jetzt einfach weil unterm Bruchsstrich die größere Zahl steht, deshalb wird das ganze 0 ?

28.01.2007, 18:14

Calvin

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Zitat:

Nicht böse sein, aber diese Mathematiker Antworten sind schon cool Big Laugh

Big Laugh

Och, das geht noch viel cooler Teufel

Teufel

Zitat:

Original von Fulge
Ist die Begrünung jetzt einfach weil unterm Bruchsstrich die größere Zahl steht, deshalb wird das ganze 0 ?

Ja, genau. Wenn du den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \left(\frac{3}{4}\right)^n \end{eqnarray*}$ nimmst, dann hast du mit $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ eine Zahl, die zwischen 0 und 1 ist. Wenn du eine solche Zahl mit sich selbst multiplizierst, bekommst du eine Zahl, die wieder zwischen 0 und 1 ist, aber kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ . Wenn du das jetzt ständig wiederholst, dann kriegst du eine Zahl, die zwar immer größer als 0 ist, aber immer kleiner wird. Deshalb ist der Grenzwert 0.

Ich hoffe, die Antwort war unmathematisch genug Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.01.2007, 18:15

tigerbine

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Kerle Kerle...

Du solltest aus der Analysis Vorlesung wissen, welche möglichkeiten es gibt die Konvergenz einer folge zu zeigen.

- streng monoton fallend
- von unten beschränkt

jetzt haben wir es Dir schon umgeformt:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3^n}{2^{2n}}=\frac{3^n}{\left(2^2\right)^n}=\left(\frac{3}{4}\right)^n \end{eqnarray*}$

Daher wegen $\begin{eqnarray*} a_1=\frac{3}{4} > 0 \end{eqnarray*}$ sind alle Folgenglieder größer 0.

Ist nun:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_n \end{eqnarray*}$

gezeigt, ist man fertig mit der Konvergenz.

28.01.2007, 18:19

Calvin

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Zitat:

Original von tigerbine
Du solltest aus der Analysis Vorlesung wissen

Ups, da habe ich doch glatt übersehen, dass wir hier im Hochschulmathe-Forum sind. Da bereue ich meine unmathematische Antwort ja fast Teufel

Teufel

Gruß
Calvin, der sich vorerst mal wieder ausklinkt smile

smile

28.01.2007, 18:32

Fulge

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Ja, das ist unmathematisch genau, glaube ich habe es jetzt verstanden.

Nehmen wir mal folgendes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (\frac{5}{4}) ^{n} \end{eqnarray*}$

Hier ist ja jetzt der Fall das die Folge nach unten Beschränkt ist, und zwar bei 1,25 richtig?

Und weil die Folge für n+1 größer ist als für n konvergiert die Folge gegen +Unendlich.

Wie zeige ich jetzt hier die Beschränktheit? Einfach die ersten zwei drei Folgenglieder hinschreiben und es daraus ableiten?

28.01.2007, 18:34

Fulge

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Mist, kann leider nicht editieren, es soll (5/4)^n heißen.

28.01.2007, 18:59

tigerbine

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wie Du erkannt hast, wächst Die Folge streng monoton. Damit sie konvergiert, müßte es eine oberere Schranke geben. Führe dies zum Widerspruch, d.h. zeige dass für alle M>0 ein N existiert, so dass für alle n > N gilt:

$\begin{eqnarray*} (\frac{5}{4})^n>M \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 20:24

kermit

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folge
es handel sich hier um einen uneigentlichen grenzwert unendlich.
somit ist die folge eine streng monotone,divergente folge,da keine
reelle zahl S (schranke) existiert.

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