Dgl. lösen

28.05.2012, 15:43

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Dgl. lösen

Hey ich soll die Dgl. lösen.

$\begin{eqnarray*} y''+10y'-24y=2x^2-6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=-12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_h=c_1e^{2x}+c_2e^{-12x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p'(x)=2ax+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p''(x)=2a \end{eqnarray*}$

In Dgl.:
$\begin{eqnarray*} 2a+20ax+10b-24ax^2-24bx-24c=2x^2-6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= -\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= \frac{13}{72} \end{eqnarray*}$

Für c komm ich nicht aufs richtige Ergebnis. Bitte um Hilfe.

28.05.2012, 15:49

Equester

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Ist soweit richtig Freude

Freude

.

Da du zur c) weder Rechenweg noch Ergebnis angibst, kann ich nichts dazu sagen...

28.05.2012, 15:52

2Seitenlang

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Kann ich jetzt nicht einfach nach c umstellen, die Werte von a und b einfügen und c ausrechnen?

28.05.2012, 15:58

Equester

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Das sollst du ja sogar.

Du hast ja 2a+10b-24c=0 -> a und b sind bekannt. Bleibt c zu lösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

28.05.2012, 16:09

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Ich verstehe nicht wie du dadrauf kommst. Bei mir kommt $\begin{eqnarray*} 12c=a+10ax+5b-12ax^2-12bx \end{eqnarray*}$ raus.

28.05.2012, 16:15

Equester

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Achso du meinstest direkt in die Gleichung.
Geht auch. Geht auf das gleiche hinaus.

Wo ist denn aber deine rechte Seite? 2x²-6x? Die nicht vergessen!

Wie bist du auf a und b gekommen? Koeffizientenvergleich? Mach das doch für c auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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28.05.2012, 16:29

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Oh man bin ich blöd^^ Hammer

Hammer

a und b hab ich mit Koeffizientenvergleich gelöst....hab das ganze jetzt nochmal mit c gemacht und siehe da: $\begin{eqnarray*} 2*-\frac{1}{12}+10* \frac{13}{72}=24c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=\frac{59}{864} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)=c_1e^{2x}+c_2e^{-12x}-\frac{1}{2}x^2+ \frac{13}{72}x+ \frac{59}{864} \end{eqnarray*}$

28.05.2012, 16:36

Equester

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Eine 1 hast du verschluckt. -1/12.

Sonst aber richtig Freude

Freude

.

28.05.2012, 16:46

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oh ja stimmt smile

smile

erstmal danke für die Hilfe!

hab schon ne neue Aufgabe wo ich gerne wissen würde ob ich die richtig angefangen hab :P

$\begin{eqnarray*} y'''+6y''+13y'=51sin(3x)+13x-7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{2,3}=-3\pm 2i \end{eqnarray*}$

Hier hab ich ja jetzt 3 Nullstellen. Kann ich jetzt einfach die homogene Lösung von $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2,3}=-3\pm 2i \end{eqnarray*}$ zusammaddieren?

Also $\begin{eqnarray*} y_h=c_1e^{0x}+e^{-3x}[c_2*cos(2x)+c_3*sin(2x)] \end{eqnarray*}$

28.05.2012, 16:51

Equester

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Ja, das ist so richtig.

28.05.2012, 17:16

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ok

Kommen wir zur partikulären Lsg.:

Hier muss ich ja wieder den Lösungsansatz der Störfunktion $\begin{eqnarray*} 51 sin(3x)+13x-7 \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Für die 51 sin(3x) würde ich $\begin{eqnarray*} A*sin(\beta x)+B*cos(\beta x) \end{eqnarray*}$ nehmen und 13x-7 bleibt ja glaube ich einfach so. Dann würde ich die beiden einfach addieren und dann 3 Mal ableiten.
Ist das korrekt?

28.05.2012, 17:25

Equester

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Nimm das Superpositionsprinip zu Hilfe. Löse erst den Teil mit dem Sinus (nach deinem Ansatz)
und nebenher den anderen Teil. Ganz am Ende addiere beide Lösungen smile

smile

.

28.05.2012, 17:51

2Seitenlang

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$\begin{eqnarray*} y_{p1}=A*sin(\beta x)+B*cos( \beta x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{p1}'=\beta*A*cos( \beta x)-\beta*B*sin( \beta x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{p1}''=-\beta*\beta*A*sin( \beta x)-\beta*\beta*B*cos( \beta x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{p1}'''=-\beta*\beta*\beta*A*cos( \beta x)+\beta*\beta*\beta*B*sin( \beta x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p2}=13x-7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_{p2}=13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''_{p2}=0 \end{eqnarray*}$

Ich hab das Gefühl dass das falsch ist.

28.05.2012, 17:58

Equester

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Erster Teil ist richtig. Beta kannst du übrigens angeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zweiter Teil. Das ist kein Ansatz, sondern du hast die rechte Seite einfach abgeleitet.

(Bin mal essen. Bis späters)

28.05.2012, 18:31

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Der erste Teil:
Dann könnte ich ja im ersten Teil, die rechte Seite weglassen, weil wir ja kein B haben stimmts? smile

smile

Der zweite Teil:
Ich hab im Internet den Lösungsansatz gefunden:

Störfunktion ----> $\begin{eqnarray*} a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz ----> $\begin{eqnarray*} A_n x^n +A_{n-1} x^{n-1}+...+A_1x+A_0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} q\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(A_n x^n +A_{n-1} x^{n-1}+...+A_1x+A_0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} q\neq 0,q=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2(A_n x^n +A_{n-1} x^{n-1}+...+A_1x+A_0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p=q=0 \end{eqnarray*}$

28.05.2012, 18:34

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Das heißt doch das ich einfach das ableiten kann was da auch steht oder?

Lass es dir schmecken Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2012, 18:48

Equester

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Danke

Augenzwinkern

.

Nein, du kannst es nicht einfach ableiten. Wo ist dann dein rechter Seite Ansatz?

In deinem Post davor hast du doch den Ansatz. Du brauchst verschiedene Variablen
die es zu entdecken gilt. Wie zuvor auch.
Beachte (wie auch in deinem Post), dass wir eine Lösung schonmal benutzt haben!
Was musst du also bei deinem rechten Seite Ansatz beachten?

Zu

Zitat:

Der erste Teil:
Dann könnte ich ja im ersten Teil, die rechte Seite weglassen, weil wir ja kein B haben stimmts?

Nein! Sinus und Cosinus gehören immer zusammen und du kannst nicht auf Verdacht,
einfach eine der beiden Lösungsteile weglassen.

Edit: Grad ist das Essen vorbei, gehts ab zum Spieleabend mit der Familie.
Ich gebe dich gerade mal an die wandelnde Kompetenz Bjoern1982 ab.

Wink

Wink

29.05.2012, 00:40

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Mein erster Teil ist ja linear.
Was mir jetzt spontan einfallen würde wäre einfach:

$\begin{eqnarray*} y_p=ax+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p'=a \end{eqnarray*}$

ist ja nichts anderes wie bei der davorigen Aufgabe gewesen nur das es da quadratisch war.
Ich hoffe ich liege da richtig...

29.05.2012, 08:01

Equester

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Ja, das ist generell richtig. Beachte aber, dass wir den konstanten Teil in der
homogenen Lösung schon hatten. Wir müssen den Ansatz also erweitern.

$\begin{eqnarray*} y_p=x(ax+b) \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2012, 14:45

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Das verstehe ich nicht. Es gibt ja drei verschiedene Lösungsansätze für

$\begin{eqnarray*} \lambda^2+a_1\lambda+a_0 \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} a_0\neq 0 \end{eqnarray*}$

Dafür gilt: $\begin{eqnarray*} y_p=c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_nx^n \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} a_0=0,a_1\neq 0 \end{eqnarray*}$

Dafür gilt: $\begin{eqnarray*} y_p=x(c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_nx^n) \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} a_0=0, a_1=0 \end{eqnarray*}$

Dafür gilt: $\begin{eqnarray*} y_p=x^2(c_0+c_1x+c_2x^2+...+c_nx^n) \end{eqnarray*}$

Wie du geschrieben hast müssten wir ja die zweite Variante wählen. Was ich aber nicht verstehe da diese Aussage ---> $\begin{eqnarray*} a_0 = 0 \end{eqnarray*}$ bei unserer Aufgabe nicht übereinstimmt.

29.05.2012, 17:35

Equester

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Wir haben doch mit $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ eine Konstante. So wie auch -7 auf der rechten Seite eine Konstante ist.
Du brauchst also Ansatz 2. Klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2012, 17:41

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Sorry das leuchtet mir gerade nicht so wirklich ein. Wieso kann ich den ersten Ansatz nicht einfach benutzen?

29.05.2012, 19:19

Equester

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Der Resonanzfall sagt dir nichts?

Ich hab mal aus dem Inet was rausgesucht. Da ist es eigentlich sehr gut erklärt smile

smile

.

(2te Seite) -> Klick mich

btw, ich war vorher etwas in Eile. Das deinige hat mit dem Resonanzfall nichts zu
tun wie ich sehe. Vllt deswegen die Verwirrung.
Schau dir mal das Blatt an und frage im Bedarfsfall nach.

30.05.2012, 00:55

2Seitenlang

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So wie ich das verstanden habe, ist die ganze Sache von den Nullstellen abhängig. Hab ich keine Nullstellen steht kein x vor der Klammer. Hab ich eine oder mehr Nullstellen steht ein x mit der Potenz der Anzahl der Nullstellen vor der Klammer.

30.05.2012, 07:59

Equester

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Ja genau. Es ist von den Nullstellen des charakteristischen Polynoms abhängig.

Deswegen brauchen wir bei uns ein x mehr Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Du kannst dann den rechte Seite Ansatz bilden und durchrechnen?

30.05.2012, 11:11

2Seitenlang

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und wieder was gelernt Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} y_{p1}=x(ax+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}'=a*(ax+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}''=a*a*(ax+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}=a*a*a*(ax+b) \end{eqnarray*}$

Jetzt die beiden Ansätze addieren? Oder kann ich auch beide seperat durchrechnen?

$\begin{eqnarray*} y_{p12}=A*sin(\beta x)+B*cos(\beta x)+x(ax+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p12}'=\beta*A*cos(\beta x)-\beta*B*sin(\beta x)+a*(ax+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p12}''=-\beta^2*A*sin(\beta x)-\beta^2*B*cos(\beta x)+a^2*(ax+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p12}'''=-\beta^3*A*cos(\beta x)+\beta^3*B*sin(\beta x)+a^3*(ax+b) \end{eqnarray*}$

30.05.2012, 11:28

Equester

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*hust* Produktregel *hust*
Oder einfacher -> Ausklammern.

Wie gesagt, wir haben hier das Superpositionsprinzip, welches wir zur Anwendung bringen können.
Rechne also getrennt und vereine am Ende beide Lösungen.

beta ist allgemein. Du kannst es hier speziallisieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

30.05.2012, 11:44

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Hoppla^^

$\begin{eqnarray*} y_{p1}=ax^2+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}'=2ax \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}''=2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}'''=0 \end{eqnarray*}$

Ist der letzte auch richtig? Bin mir nicht sicher.

30.05.2012, 11:47

Equester

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Betrachet a als Zahl (was es ja auch ist). Du hast also recht Freude

Freude

.

Bin wieder im Labor. Schaue vllt nacher nochmals rein, sonst erst heut Abend Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Aber du hast ja nun alles was du brauchst?!

30.05.2012, 12:51

2Seitenlang

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Ich habe versucht den Koeffizientenvergleich zu machen.

Zum ersten Teil:

$\begin{eqnarray*} 12a+26ax=51sin(3x)+13x-7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12a=-7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=-\frac{7}{12} \end{eqnarray*}$

Ich hab das ganze auch nochmal mit den anderen Koeffizienten durchgeführt. Eigentlich müsste ja das selbe Ergebnis für a rauskommen.

$\begin{eqnarray*} 26a=51 sin(3)+13 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= \frac{51 sin(3)+13}{26}=0,6 \end{eqnarray*}$

Muss man bei cosinus,sinus etc. den Koeffizientenvergleich anders durchführen? Muss ich etwas beachten?

Zum zweiten Teil:

$\begin{eqnarray*} -3^3*A*cos(3x)+3^3*B*sin(3x)+6*[-9A*sin(3x)-9B*cos(3x)]+13[3A*cos(3x)-3*B*sin(3x)]=51sin(3x)+13x-7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A[-27-cos(3x)-54sin(3x)+39cos(3x)]+B[27sin(3x)-54cos(3x)-39sin(3x)]=51sin(3x)+13x-7 \end{eqnarray*}$

Hier hab ich absolut keine Ahnung wie ich das lösen soll unglücklich

unglücklich

(Wenn's überhaupt richtig ist).

30.05.2012, 13:05

Equester

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1. ist mir leider grad noch ein Fehler aufgefallen:
x(ax+b)=ax**2+bx und nicht ax**2+b Augenzwinkern

Augenzwinkern

2. Du splittest die Aufgabe. Zuerst kümmerst du dich um den Sinus teil, dann
kümmerst du dich um das Polynom (oder natürlich andersrum, aber getrennt!)

Ich zeig dir das mal für das Polynom.

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} y_{p1}=ax^2+bx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}'=2ax+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}''=2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{p1}'''=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'''+6y''+13y'=13x-7 \end{eqnarray*}$

Einsetzen des Ansatzes und Koeffizientenvergleich.
Wenn du das gleiche hast wie ich, solltest du auf b=-1 und a=0.5 kommen smile

smile

.

30.05.2012, 13:32

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1.
Also wenn ich beim ersten Teil $\begin{eqnarray*} a= \frac{sin(3)+13}{26} \end{eqnarray*}$ mache komm ich auch für 'a' auf 0,5 und für 'b' bekomm ich dann auch -1 raus. Wenn du es tatsächlich auch so gerechnet hast, wieso wird dann die 51 weggelassen?

2.
Also alle Sinus-Teile rausfischen. Mein Polynom ist doch $\begin{eqnarray*} 51sin(3x)+13x-7 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich nur sinus rausmache und den rechten Teil weglasse hab ich das raus:

$\begin{eqnarray*} A=-\frac{2}{9}B \end{eqnarray*}$

30.05.2012, 13:40

Equester

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Nanana, da bekommst du nicht 0.5 raus. Da bekommst ungefähr 0.5 raus! Und das auch nur
aus Glück, weil du x einfach 1 setzt und sin(3) fast sin(pi) ist und das wiederum 0 ist!

Der Ansatz ax**2+bx zeigt nur Wirkung auf den Polynomteil. Der Sinus hingegen braucht
einen anderen Ansatz (du hast ihn schon gemacht).
Du kannst nun beide Ansätze in einen Topf werfen und einen Koeffizientenvergleich machen,
oder jeden Teil für sich. Prinzipiell besteht hier kein Unterschied, allerdings ist letzteres
gewiss übersichtlicher! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Klar?

smile

Edit: Da musst du dich nun alleine dran versuchen. Halte dich an meinen Weg.
Bin auf dem Weg nach Hause Wink

Wink

.

30.05.2012, 13:55

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ahhhh also jetzt hats klick gemacht was den ersten Teil betrifft. :P
Klingt ja logisch^^

$\begin{eqnarray*} 12a+26ax+13b=13x-7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 26a=13 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 13b=-13,b=-1 \end{eqnarray*}$

Der zweite Teil:

Hier versteh ich noch nicht wirklich wieso nur sinus reingemacht wird und kein cosinus-Teil dabei sein soll.

Dann sähe das ja so aus: $\begin{eqnarray*} -12Bsin(3x)-54Asin(3x)=sin(3x) \end{eqnarray*}$

Bin ca. um 15 Uhr wieder da. Bis später Wink

Wink

30.05.2012, 15:15

Equester

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Da kann was nicht stimmen.
Hast du alle Ableitungen eingesetzt und so weiter? Da müsste ein längerer Ausdruck stehen.

Rechts fehlt außerdem die 51.
Wenn du willst kannst du auch noch +0*cos(3x) anfügen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

(Der erste Teil ist aber nun richtig Freude

Freude

).

Bin Paintballen. Erst heut Abend wieder da Big Laugh

Big Laugh

.

30.05.2012, 17:13

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Dann muss ich irgendwo einen Fehler gemacht haben.

$\begin{eqnarray*} -3^3+A*cos(3x)+3^3*B*sin(3x)+6*[-9A*sin(3x)-9B*cos(3x)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +[-9A*sin(3x)-9B*cos(3x)]+13[3A*cos(3x)-3B*sin(3x)]=51sin(3x) \end{eqnarray*}$

Und das zusammengefasst ist:

$\begin{eqnarray*} 12Acos(3x)-12Bsin(3x)-54Asin(3x)-54Bcos(3x)=51sin(3x)+0*cos(3x) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?
Viel spaß beim paintballen^^

Edit Equester: Monstrum gekürzt.

30.05.2012, 19:05

Equester

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Ja, nun ist es richtig smile

smile

.

Was ist also A und B?

Fasse dann alles zusammen und du bist fertig (Vergiss die homogene Lösung nicht!).

Danke. Nur 2 blaue Flecken Big Laugh

Big Laugh

.

30.05.2012, 21:30

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Ich hab jetzt folgendes gemacht.

Kosinus:
$\begin{eqnarray*} 12A*cos(3x)-54B*cos(3x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=4,5B \end{eqnarray*}$

Sinus:
$\begin{eqnarray*} -12B*sin(3x)-54A*sin(3x)=51sin(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \frac{-12B-51}{54} \end{eqnarray*}$

Das hilft mir jetzt irgendwie nicht weiter. B kann ich nicht bestimmen. Was habe ich falsch gemacht?

30.05.2012, 22:04

Equester

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Beruhigt es dich, wenn ich dir sage, dass das Schulstoff 5te Klasse ist Big Laugh

Big Laugh

.

Zwei Gleichungen, zwei Variablen.
Das Gleichsetzungsverfahren bietet sich hier an.

30.05.2012, 23:19

2Seitenlang

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OMG

Hammer

Hammer

Hammer

Man bin ich blöd xD

$\begin{eqnarray*} B=0,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=0,9 \end{eqnarray*}$

Meine Lösung!!!! Tanzen

Tanzen

$\begin{eqnarray*} y=c_1+e^{-3x}[c_2*cos(3x)+c_3*sin(3x)]+0,5x^2-x-0,9sinx-0,2cosx \end{eqnarray*}$

Hast du Lust danach noch eine Aufgabe mit mir zu rechnen?

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