Schnittpunkte von sinus und cosinus

27.01.2007, 17:07

El_Snyder

Schnittpunkte von sinus und cosinus

hallo zusammen

ich steh grad ein wenig auf dem schlauch und bräuchte deshalb eure hilfe smile

ich soll die fläche zwischen f(x) = sin x und g(x) = cos x im intervall [0; pi] berechnen. dazu brauche ich den schnittpunkt der beiden graphen in diesem intervall, nur leider weiss ich grad nicht so recht, wie ich den bekomme verwirrt

könnt ihr mir auf die sprünge helfen?

27.01.2007, 17:10

tigerbine

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RE: Schnittpunkte von sinus und cosinus
Überleg doch mal mit dem Einheitskreis, wo diese beiden gleich sind.

EDIT: Well done, DUAL SPACE Freude

27.01.2007, 17:32

Dual Space

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RE: Schnittpunkte von sinus und cosinus

Zitat:

Original von tigerbine
Überleg doch mal mit dem Einheitskreis, wo diese beiden gleich sind.

Hier die Grafik dazu:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Winkelfunktionen_Einheitskreis.svg/627px-Winkelfunktionen_Einheitskreis.svg.png

28.01.2007, 15:03

El_Snyder

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danke für eure antworten, konnte gestern leider nicht mehr hier reinschauen smile

danach dürfte der erste schnittpunkt von sin x und cos x bei pi/4 liegen, alle weiteren im abstand von pi, korrekt?

28.01.2007, 15:12

tigerbine

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Ja.

28.01.2007, 15:30

El_Snyder

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dummerweise hab ich bei meiner aufgabe scheinbar immer noch ein problem verwirrt

ich soll ja wie gesagt die fläche zwischen f und g im intervall I berechnen.

f(x) = sin x
g(x) = cos x

I = [0; pi]

ist der anfang so richtig:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~[g(x) - f(x)]~dx~+~\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}~[f(x) - g(x)]~dx \end{eqnarray*}$

? wenn ich mich ab dann nicht irgendwo verrechnet habe, käme ich auf ein ergebnis von ca. 2,828. geogebra sagt mir aber, dass die fläche genau 2 betragen sollte.

28.01.2007, 15:45

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~[cos(x) - sin(x)]~dx~+~\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}~[sin(x) - cos(x)]~dx= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~cos(x)~dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~sin(x)~dx~+~\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}~sin(x) ~dx- ~\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}~cos(x)~dx= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [sin(x)]_0^{\frac{\pi}{4}}-[-cos(x)]_0^{\frac{\pi}{4}}+[-cos(x)]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}-[sin(x)]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{4})-sin(0)+cos(\frac{\pi}{4})-cos(0)-cos(\pi)+cos(\frac{\pi}{4})-sin(\pi)+sin(\frac{\pi}{4})= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{4})+cos(\frac{\pi}{4})-1+1+cos(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{\pi}{4})= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4sin(\frac{\pi}{4})=4\cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} =2\sqrt{2} \approx 2.828 \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 15:57

psd

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RE: Schnittpunkte von sinus und cosinus
$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = tan(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 15:58

El_Snyder

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exakt der meinung bin ich auch, danke smile

nur geogebra ist anscheinend anderer meinung (s. anhang).

28.01.2007, 16:12

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} [sin(\frac{\pi}{4})-sin(0)+cos(\frac{\pi}{4})-cos(0)]+[-cos(\pi)+cos(\frac{\pi}{4})-sin(\pi)+sin(\frac{\pi}{4})]= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2}+0+\frac{\sqrt{2}}{2}-1] + [+1+\frac{\sqrt{2}}{2}-0+\frac{\sqrt{2}}{2}]= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\sqrt{2}-1]+[\sqrt{2}+1] \end{eqnarray*}$

Vielleicht hat dein Programm die gerichtete fläche zwischen sin,cos berechnet.

Dann:

$\begin{eqnarray*} |[\sqrt{2}-1]-[\sqrt{2}+1]| = |-2|=2 \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 16:26

El_Snyder

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was meinst du mit "gerichtete fläche" ?

es soll die fläche berechnet werden, die "zwischen den graphen von f und g im intervall I liegt".

smile

28.01.2007, 16:35

tigerbine

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Das weiß ich, weiß es aber auch dein Programm? Was hast Du dort eingegeben?

Es ist

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~cos(x)-sin(x)~dx \end{eqnarray*}$

eben etwas anderes als die eingeschlossene Fläche zwischen cos und sin

28.01.2007, 16:41

El_Snyder

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das programm hat die mehr oder weniger rot schraffierte fläche in der grafik berechnet (welche "2" beträgt). ich bin mir auch sicher, dass das die richtige fläche ist, da sie zwischen den beiden graphen im angegebenen intervall liegt.

ich habe anfangs für diese fläche angenommen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~[g(x) - f(x)]~dx~+~\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}~[f(x) - g(x)]~dx \end{eqnarray*}$

danach kommt man jedoch auf einen wert von 2,828 (welcher höchstwahrscheinlich nicht korrekt ist), d.h. es fehlen anscheinend betragsstriche, nur wo?

28.01.2007, 16:44

tigerbine

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Ja, nur haben die beiden Flächenteile in der Grafik unterschiedliche Vorzeichen. Deswegen kommt 2 raus. Dass ist die "gerichtete Fläche" zwischen sinus und cosinus.

Wir haben von hand diese Richtung beseitigt, indem wir g-f und f-g betrachtet haben.

28.01.2007, 16:52

El_Snyder

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okay, jedenfalls habe ich jetzt nachgerechnet, dass man mit

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~[g(x) - f(x)]~dx~+~\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}~|~f(x) - g(x)~|~dx \end{eqnarray*}$

(also mit betragsstrichen im zweiten teilintegral) auch auf den wert 2 kommt smile

28.01.2007, 17:00

tigerbine

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Das hatte ich Dir oben auch schon mal ausgerechnet. Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |[\sqrt{2}-1]-[\sqrt{2}+1]| = |-2|=2 \end{eqnarray*}$

29.01.2007, 15:26

El_Snyder

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hallo

heute in der schule habe ich erfahren, dass die richtige lösung (nach dem lehrbuch) 2,828 lautet.

mein programm geogebra spuckt aber trotzdem weiterhin den wert 2 aus (und meiner meinung nach auch bei der richtig markierten fläche).

welches ergebnis ist denn nun richtig? die aufgabe lautete:

"Wie groß ist die Fläche, die zwischen den Graphen von f und g im Intervall I liegt?"

f(x) = sin x
g(x) = cos x
I = [0; pi]

29.01.2007, 15:27

tigerbine

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Was hast Du genau bei geobra eingegeben.

29.01.2007, 15:30

El_Snyder

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f(x) = sin(x)
g(x) = cos(x)

und das integral wie im anhang zu sehen ist

29.01.2007, 15:33

El_Snyder

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hmm.. scheint sich um eine problematik des programms zu handeln. wenn ich die beiden flächenteile dort getrennt integriere, erhalte ich für den ersten teil 0,41 und für den zweiten teil 2,41, was zusammen 2,82 ergibt. dieser wert scheint logischerweise also zu stimmen

29.01.2007, 15:33

tigerbine

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Also hast Du den Pc berechnen lassen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~sin(x)-cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

Das ist dann schon richtig als Fläche markiert, aber die erste hat eben einen negativen Wert, weil cos über dem Sinus verläuft. Du hast doch von hand das Intergral für die ungerichtete Fläche richtig aufgestellt.

lass das Programm doch mal abschnittsweise rechnen, dann kommt auch wieder 2,... raus.

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