Extremwertaufgabe Würfel in Kreiskegel

28.05.2012, 16:51

frosch95

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertaufgabe Würfel in Kreiskegel

Meine Frage:
Ich habe ein Problem bei meinen Hausaufgaben:
Einnem Würfel mit der Kantenlänge a wird ei senkrechter Kreiskegel so umbeschrieben, dass vier Eckpunkte in der Grundkreisebene und vier Eckpunkte auf dem Kegelmantel liegen.
a)Zeigen sie mit Hilfe des 2. Strahlensatzes, dass für das Volumen des Kegels gilt: $\begin{eqnarray*} V(x)=\frac{\sqrt{2} }{3} *a*\pi *\frac{x^{3} }{\sqrt{2} *x-a} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Volumen vom Kegel:
$\begin{eqnarray*} V(x)=\frac{1}{3} *G*h \end{eqnarray*}$ G=pi*r² --> $\begin{eqnarray*} V(x)=\frac{1}{3} *\pi*r²*h \end{eqnarray*}$

Volumen des Würfels:
V(a)=a³

2.Strahlensatz:
$\begin{eqnarray*} \frac{AB}{CD} =\frac{SA}{SC} \end{eqnarray*}$

Ich habe gedacht, wenn sich die Strecken zueinandr Gleich verhalten, dann tun das die Volumina auch und hab deswegen folgende Gleichung aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3} *\pi *\frac{a}{2} *\sqrt{2} *y}{\frac{1}{3} *\pi *x^{2} *y+a} =\frac{y}{y+a} \end{eqnarray*}$
Beim Umformen bekomme ich aber das Ergebnis y=0 raus (Laut meinem Taschenrechner).
Ich wurde gerne Wissen wo mein Fehler liegt.
LG Frosch

mann kann es nicht erkennen, aber im dreieck steht unter dem roten Pfeil a/2*Wurzel 2

28.05.2012, 17:18

frosch95

Auf diesen Beitrag antworten »

mir fällt grade auf, dass es falsch sein kann für SA und SC die höhe des kegels zu nehmen. ich müsste die außenkannten nehmen. die kann ich ja mit dem pytagoras lösen.
demnach wäre SA $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^{2} }{2} +y} \end{eqnarray*}$
und SC $\begin{eqnarray*} \sqrt{ x^{2}*(y+a)^{2}} \end{eqnarray*}$

Die Entgleichung lautet demnach: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3} *\pi *\frac{a}{2} *\sqrt{2} *y}{\frac{1}{3} *\pi *x^{2} *(y+a)} =\frac{\sqrt{\frac{a^{2} }{2} +y}}{\sqrt{ x^{2}*(y+a)^{2}} } \end{eqnarray*}$

28.05.2012, 17:35

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst zu kompliziert.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} V(x)=\frac{1}{3} *G*h \end{eqnarray*}$ G=pi*r² --> $\begin{eqnarray*} V(x)=\frac{1}{3} *\pi*r²*h \end{eqnarray*}$

Soweit ok, r könnte man direkt schon durch x ersetzen.

Damit V nur noch von x abhängt, benötigt man noch eine Nebenbedingung.
An diese kommt man mit dem 2. Strahlensatz.
Die entsprechende Gleichung dazu folgt direkt z.B. aus Skizze auf der rechten Seite.
Wie immer gilt: kurze Parallele durch lange Parallele verhält sich wie kurzer Strahlenabschnitt durch langer Strahlenabschnitt

28.05.2012, 17:52

frosch95

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. also folgendermaßen:
HB: $\begin{eqnarray*} V(x)=\frac{1}{3} *\pi *x^{2} *h \end{eqnarray*}$
NB: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a}{2} *\sqrt{2} }{x} =\frac{y}{y+a} \end{eqnarray*}$

28.05.2012, 17:55

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht gut aus. Freude

Freude

Benutze nun noch y=h-a und löse die Gleichung dann nach h auf.

28.05.2012, 18:05

frosch95

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätten wir für die Nebenbedingung
NB: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a}{2} *\sqrt{2} }{x} =\frac{(h-a)}{(h-a)+a} \end{eqnarray*}$
wobei man einfacher schreibt:
NB: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a}{2} *\sqrt{2} }{x} =\frac{(h-a)}{h} \end{eqnarray*}$
die Nebenbedingung stelle ich jetzt erst nach h um, also:
$\begin{eqnarray*} \frac{2ax}{2*x-a*\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$
Dann in die HB einsetzten:
NB in HB: $\begin{eqnarray*} V(x)=\frac{1}{3} *\pi *x^{2} *\frac{2ax}{2*x-a*\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

Anzeige

28.05.2012, 18:10

frosch95

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Lösung hab ich jetzt raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{2*a*\pi *x^{3} }{3*(2*x-a*\sqrt{2}) } \end{eqnarray*}$
und das entspricht dann meiner lösung. Danke smile

smile

28.05.2012, 18:16

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist zwar richtig, aber mit der Lösung oben noch nicht ganz identisch, wenn du genau hinschaust.
Man könnte nun noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ im Nenner ausklammern.

28.05.2012, 18:18

frosch95

Auf diesen Beitrag antworten »

ind der aufgabe b) sollen wir herausfinden, für welchen kreisradius x mein volumen am kleinsten ist.
dann ist meine V(x)=mein ergebnis von eben =minimal meine HB
und meine NB ist pi*x²=G

28.05.2012, 18:19

frosch95

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bjoern1982
Das ist zwar richtig, aber mit der Lösung oben noch nicht ganz identisch, wenn du genau hinschaust.
Man könnte nun noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ im Nenner ausklammern.

ja ich weiß, aber mein Taschenrechner ist so nett und spuckt mir aus, dass die gegebene gleichung meiner gleichung entspricht Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2012, 18:22

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ind der aufgabe b) sollen wir herausfinden, für welchen kreisradius x mein volumen am kleinsten ist.

Ja, ab jetzt ganz normal Extrempunktbestimmung mit der eben bestimmten Zielfunktion V(x) wie immer.

28.05.2012, 18:27

frosch95

Auf diesen Beitrag antworten »

ist mir auch grade aufgefallen, ich danke halt zu kompliziert und nicht immer gründlich. ich denke das bekomme ich jetzt alleine hin. danke für die hilfe

28.05.2012, 18:28

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
Wenn es noch Probleme gibt oder du deine Ergebnisse kontrollieren möchtest, dann poste einfach. Wink

Wink

28.05.2012, 18:34

frosch95

Auf diesen Beitrag antworten »

sam kleinsten, wenn $\begin{eqnarray*} x=\frac{3*a*\sqrt{2} }{4} \end{eqnarray*}$

stimmts?

28.05.2012, 18:47

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

21.11.2012, 13:45

DerGraph

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nicht bei der Umstellung weiter.

Folgender Strahlensatz ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a}{2} * \sqrt{2} }{x} = \frac{h-a}{h} \end{eqnarray*}$

Aber wie stelle ich das ganze jetzt nach h um? Vielleicht kann mir jemand einen Denkanstoß geben - mir fehlt der Ansatz.

21.11.2012, 14:07

DerGraph

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt den Doppelpost, wollte euch nur eben meinen Versuch zeigen. Mein Ansatz ist jener, stimmt er soweit?
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{ha\sqrt{2} }{2} - \frac{a²\sqrt{2} }{2} }{x} = h \end{eqnarray*}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »