Bestimme alle natürlichen Zahlen mit vorgegeben Vielfachen und Teileranzahl

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Käseschnitzel Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme alle natürlichen Zahlen mit vorgegeben Vielfachen und Teileranzahl
Meine Frage:
Bestimme alle natürlichen Zahlen, die Vielfache von 12 sind und genau 14 Teiler besitzen.

Meine Ideen:
Okay, das mit den 14 Teiler riecht ja schon nach Teileranzahlfunktion:

r(n)= 14
r(n)= (e1+1)(e2+1)...(er+1)

Nun weiß ich aber nicht, wie ich die Voraussetzung mit dem Vielfachen von 12 benutzen soll?!
Ich könnte die gesuchten Zahlen ja dann als n = 12 * k schreiben.. aber das bringt mich auch nicht weiter..
DHD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
r(n)= 14
r(n)= (e1+1)(e2+1)...(er+1)

zeigt doch schon wieviele Primteiler die gesuchten Zahlen haben müssen.

Wenn dir das klar ist kannst du 12|n anwenden.
Käseschnitzel Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.. wenn ich mir:

14 = (e1+1)(e2+1)...(er+1)

länger anschauen, kann die Zahl ja eigentlich nur aus 2 primfaktoren bestehen.
also wenn ich zum Beispiel e1=1 setzte und e2=6.
Aber das hab ich ja nun durch ausprobieren rausbekommen. Gibt es da eine Regel wieviele Primteiler dann eine Zahl hat, ob jetzt 3 Stück oder wie in diesem Fall 2 Stück?
DHD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gibt es da eine Regel wieviele Primteiler dann eine Zahl hat, ob jetzt 3 Stück oder wie in diesem Fall 2 Stück?

Mir ist keine sinnvolle bekannt. (Das Faktorisieren von Zahlen ist ja ein durchaus schwieriges Problem)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Käseschnitzel
Aber das hab ich ja nun durch ausprobieren rausbekommen.


Wenn du richtig überlegt hast, dann nicht, denn

1. 12 ist Teiler der gesuchten Zahl, also hat sie mindestens die zwei Primteiler 2 und 3
2. 14 hat nur 2 Primteiler, nämlich 2 und 7, also hat die gesuchte Zahl auch höchstens zwei Primteiler

Aus 1. und 2. folgt somit, dass die Zahl genau zwei Primteiler hat, nämlich 2 und 3, mit den positiven Vielfachheiten bzw. , wobei sogar (wegen der Teilbarkeit durch 12, also auch 4) sein muss... Somit bleibt tatsächlich nur mehr und über...
Käseschnitzel Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Mystic

1. 12 ist Teiler der gesuchten Zahl, also hat sie mindestens die zwei Primteiler 2 und 3
quote]


ach ich glaub das war mir so nicht klar. Also schau ich mir in diesem Fall die Primfaktorzerlegung von 12 an. Die ist ja:

12 = 2^3 * 3

Da nun die gesuchte Zahl Vielfaches von 12 bzw. durch 12 teilbar ist, stehen meine Faktoren der Primfaktorzerlegung der gesuchten Zahl n schon fest, also fehlen nur die Exponenten. Ich habe also nach diesem Schritt:

n = 2^e1 * 3^e2

Wie schon beschrieben ist e1=6 und e2 = 1. Daus folgt

n=2^6 * 3

Das ist also nun die einzig mögliche Zahl, oder? Hab ich die Schritte so richtig verstanden?
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Käseschnitzel
Da nun die gesuchte Zahl Vielfaches von 12 bzw. durch 12 teilbar ist, stehen meine Faktoren der Primfaktorzerlegung der gesuchten Zahl n schon fest, also fehlen nur die Exponenten.

Nein, wie oben auch ausgeführt, könnte die gesuchte Zahl zu diesem Zeitpunkt noch mehr Primfaktoren außer 2 und 3 haben... Dass sie tatsächlich nur diese zwei hat, folgt aus der Formel für die Teileranzahl, die hier 14 ist, also 2*7 ist... Daher können auch nicht mehr Vielfachheiten sein, als die, welche wir schon kennen...

Zitat:
Original von Käseschnitzel
Ich habe also nach diesem Schritt:

n = 2^e1 * 3^e2

Wie schon beschrieben ist e1=6 und e2 = 1.

Ja, und auch nicht andersrum, also und , denn wir wissen schon, dass ist... Das ist wichtig!!!

Zitat:
Original von Käseschnitzel
Daaus folgt

n=2^6 * 3

Das ist also nun die einzig mögliche Zahl, oder? Hab ich die Schritte so richtig verstanden?

Ja, eben bis auf die von mir eingefügten Auslassungen... Wink
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