Bestimme alle natürlichen Zahlen mit vorgegeben Vielfachen und Teileranzahl |
28.05.2012, 17:52 | Käseschnitzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bestimme alle natürlichen Zahlen mit vorgegeben Vielfachen und Teileranzahl Bestimme alle natürlichen Zahlen, die Vielfache von 12 sind und genau 14 Teiler besitzen. Meine Ideen: Okay, das mit den 14 Teiler riecht ja schon nach Teileranzahlfunktion: r(n)= 14 r(n)= (e1+1)(e2+1)...(er+1) Nun weiß ich aber nicht, wie ich die Voraussetzung mit dem Vielfachen von 12 benutzen soll?! Ich könnte die gesuchten Zahlen ja dann als n = 12 * k schreiben.. aber das bringt mich auch nicht weiter.. |
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28.05.2012, 18:04 | DHD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
zeigt doch schon wieviele Primteiler die gesuchten Zahlen haben müssen. Wenn dir das klar ist kannst du 12|n anwenden. |
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28.05.2012, 18:15 | Käseschnitzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay.. wenn ich mir: 14 = (e1+1)(e2+1)...(er+1) länger anschauen, kann die Zahl ja eigentlich nur aus 2 primfaktoren bestehen. also wenn ich zum Beispiel e1=1 setzte und e2=6. Aber das hab ich ja nun durch ausprobieren rausbekommen. Gibt es da eine Regel wieviele Primteiler dann eine Zahl hat, ob jetzt 3 Stück oder wie in diesem Fall 2 Stück? |
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28.05.2012, 18:27 | DHD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mir ist keine sinnvolle bekannt. (Das Faktorisieren von Zahlen ist ja ein durchaus schwieriges Problem) |
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28.05.2012, 18:31 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du richtig überlegt hast, dann nicht, denn 1. 12 ist Teiler der gesuchten Zahl, also hat sie mindestens die zwei Primteiler 2 und 3 2. 14 hat nur 2 Primteiler, nämlich 2 und 7, also hat die gesuchte Zahl auch höchstens zwei Primteiler Aus 1. und 2. folgt somit, dass die Zahl genau zwei Primteiler hat, nämlich 2 und 3, mit den positiven Vielfachheiten bzw. , wobei sogar (wegen der Teilbarkeit durch 12, also auch 4) sein muss... Somit bleibt tatsächlich nur mehr und über... |
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28.05.2012, 18:46 | Käseschnitzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
[quote]Original von Mystic 1. 12 ist Teiler der gesuchten Zahl, also hat sie mindestens die zwei Primteiler 2 und 3 quote] ach ich glaub das war mir so nicht klar. Also schau ich mir in diesem Fall die Primfaktorzerlegung von 12 an. Die ist ja: 12 = 2^3 * 3 Da nun die gesuchte Zahl Vielfaches von 12 bzw. durch 12 teilbar ist, stehen meine Faktoren der Primfaktorzerlegung der gesuchten Zahl n schon fest, also fehlen nur die Exponenten. Ich habe also nach diesem Schritt: n = 2^e1 * 3^e2 Wie schon beschrieben ist e1=6 und e2 = 1. Daus folgt n=2^6 * 3 Das ist also nun die einzig mögliche Zahl, oder? Hab ich die Schritte so richtig verstanden? |
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28.05.2012, 18:55 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, wie oben auch ausgeführt, könnte die gesuchte Zahl zu diesem Zeitpunkt noch mehr Primfaktoren außer 2 und 3 haben... Dass sie tatsächlich nur diese zwei hat, folgt aus der Formel für die Teileranzahl, die hier 14 ist, also 2*7 ist... Daher können auch nicht mehr Vielfachheiten sein, als die, welche wir schon kennen...
Ja, und auch nicht andersrum, also und , denn wir wissen schon, dass ist... Das ist wichtig!!!
Ja, eben bis auf die von mir eingefügten Auslassungen... |
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