Funktion bestimmen, die auf 2 Extremstellen liegt

28.05.2012, 19:03

danke

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Funktion bestimmen, die auf 2 Extremstellen liegt

Meine Frage:
Ich sitze schon seieiner gefühlten Ewigkeit an der Aufgabe und bin überfragt. Ich soll nämlich einen Graphen g(x) bestimmen, der auf den Extremstellen E1(1+wurzel k / 2e^-1-wurzel k)
E2 (1- wurzel k / (2-2e)*e^-1+wurzel k) liegen.
Außerdem soll ich Punkte von g(x) bestimmen, die nicht auf den Extremstellen liegen.

Meine Ideen:
Ich hatte mir gedacht, dass ich dafür eine lineare Funktion aufstelle (mx+b) und da eine Gerade keie Extrem- und Wendestellen hat, müsste ich nur die Nullstelle ermitteln...

Bin ich da auf der richtigen Spur? :/

28.05.2012, 19:08

Bjoern1982

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Kannst du mal die Originalaufgabenstellung posten (evtl auch einscannen) ?
Denn so wie das da steht, ist das etwas schwammig und teilweise auch nicht die deutsche Sprache. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine lineare Funktion durch zwei Punkte wäre machbar, das stimmt.
Zum Rest kann ich erst etwas sagen, sobald ich den oben erwähnten Originallaut sehe.

28.05.2012, 19:46

katsch

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Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte auf dem Graphen einer Funktion g liegen und bestimmen Sie g(x)

E1(1+\sqrt{k} / 2e^{-1-} \sqrt{k} )
E2 (1-\sqrt{k} / (2-2k)e^{-1+} \sqrt{k}

28.05.2012, 19:50

Bjoern1982

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Da ich deine Extrempunkte nicht entziffern kann, gebe ich zunächst nur mal das Stichwort "Ortskurve".

28.05.2012, 20:31

Mathe-Maus

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Hallo katsch,
schön, dass Du meiner Empfehlung gefolgt bist und Dich hier angemeldet hast !

Hier wird man nicht in Watte gelegt, manchmal weht ein scharfer Wind, aber man lernt viel ! Freude

Freude

Mit Bjoern hast Du einen sehr kompetenten Ansprechpartner smile

smile

Bitte versuche, Deine Aufgaben und Ergebnise im Latex-Code zu posten. Das hilft ungemein. Ich fange mal an:

Ausgangsgleichung: $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x}\cdot (x^{2}-k+1) \end{eqnarray*}$

1.Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{-x}\cdot (-x^{2}+2x+k-1) \end{eqnarray*}$

Extrempunkte (x-Werte):

Max. $\begin{eqnarray*} x_{1}= 1+\sqrt{k} \end{eqnarray*}$
Min. $\begin{eqnarray*} x_{1}= 1-\sqrt{k} \end{eqnarray*}$

LG Mathe-Maus (alias Schnecke) Wink

Wink

28.05.2012, 21:02

katsch

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Eine Ortskurve beschreibt doch nur die Hochpunkte oder nur die Tiefpunkte...
Damit habe ich aber keine Funktion meiner beiden Extrema, oder?

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28.05.2012, 21:10

Mathe-Maus

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Hallo katsch,
Boardprinzip ist, das der Ersthelfer den Thread fortführt.
Bitte folge den Vorschlägen von Bjoern ! Und versuche die Extrempunkte (Min/Max ?) in korrekter Darstellung zu schreiben ... mit entsprechenden Klammern oder besser mit latex (Formeleditor und dann im Schreib-Fenster mit f(x) anfangen und beenden !

@katsch: Solange Du Deine Extrempunkte nicht in verständlicher Form darstellst wird Dir keiner helfen könen !

28.05.2012, 21:36

katsch

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$\begin{eqnarray*} E1(1+\sqrt{k} / 2e^{-1-} \sqrt{k} ) E2 (1-\sqrt{k} / (2-2k)e^{-1+} \sqrt{k} \end{eqnarray*}$

ich hoffe, es funktionert jetzt...

28.05.2012, 21:43

Mathe-Maus

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Hallo katsch,
bitte beachte, dass man einen Punkt so angibt: P(x|y).

Dein E1 könte so lauten:
$\begin{eqnarray*} E_{1} (1+\sqrt{k}|2e^{-1-\sqrt{k}) } \end{eqnarray*}$

PS: Mein Extrempunkt sieht anders aus ... verwirrt

verwirrt

Hast Du x in die Ausgangsfunktion f(x) eingesetzt ?

28.05.2012, 22:24

katsch

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Eigentlich sollte mein Extrempunkt auch so aussehen :S
hab bestimmt etwas falsch eingegeben xD

28.05.2012, 22:32

Bjoern1982

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Die y-Koordinaten deiner Extrempunkte stimmen noch nicht ganz.
Das liegt u.a. daran, dass bei dir $\begin{eqnarray*} (a \pm b)^2=a^2 \pm b^2 \end{eqnarray*}$ ist - dem ist aber nicht so (Stichwort binomische Formeln).
Verbessere das mal, dann geht es weiter.

28.05.2012, 22:57

katsch

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$\begin{eqnarray*} Y1= (1+2\sqrt{k} *e^{-1-\sqrt{k}} <br /> Y2= (1+2*(-\sqrt{k}))*e^{-1+\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

sind die jetzt richtig? :/

28.05.2012, 23:23

Bjoern1982

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Für E1 zeige ich es dir, versuche es analog für E2:

Zitat:

Ausgangsgleichung: $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x}\cdot (x^{2}-k+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1+\sqrt{k})=e^{-(1+\sqrt{k})} \cdot (1+2 \cdot \sqrt{k}+k-k+1)=e^{-(1+\sqrt{k})} \cdot (2+2 \cdot \sqrt{k})=2 \cdot (1+ \sqrt{k}) \cdot e^{-(1+\sqrt{k})} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} x= 1+\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ folgt also die Ortskurve $\begin{eqnarray*} y=2 \cdot x \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

So, und jetzt du für E2.

28.05.2012, 23:38

katsch

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$\begin{eqnarray*} X=1-\sqrt{k} <br /> K= x^{2} -2x+1<br /> Y=(2-2(x^{2}-2x+1))e^{-1-\sqrt{x^{2}-2x+1}} \end{eqnarray*}$

Aber beschreibt denn die ortskurve nicht entweder hochpunkte oder tiefpunkte, denn die soll doch eine gleiichung aufstellen, in der beide extremstellen liegen, oder?

28.05.2012, 23:48

Bjoern1982

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Wenn du das getan hättest, was ich dir geraten hatte, dann hättest du jetzt gesehen, dass auch für E2 dieselbe Ortskurve resultiert.
Stattdessen hast du etwas eigenes probiert und bist daran dann gescheitert.
Falls du doch noch Lust hast es ananlog zu meinem Beitrag zu machen, dann kannst du meine Formeln auch einfach markieren und rauskopieren, dann geht das alles noch schneller.

29.05.2012, 07:50

katsch

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$\begin{eqnarray*} f(1-\sqrt{k})=e^{-(1-\sqrt{k})} \cdot (1-2 \cdot \sqrt{k}+k-k+1)=e^{-(1-\sqrt{k})} \cdot (2-2 \cdot \sqrt{k})=2 \cdot (1- \sqrt{k})) \cdot e^{-(1-\sqrt{k})} \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} x= 1-\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ folgt also die Ortskurve $\begin{eqnarray*} y=2 \cdot x \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

??

29.05.2012, 10:40

Bjoern1982

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Ganz genau so.

29.05.2012, 11:19

katsch

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Ohhh ich danke dir Big Laugh

Big Laugh

jetzt habe ich es euch verstanden Freude

Freude

Hammer

29.05.2012, 11:32

Bjoern1982

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Das freut mich, dann viel Erfolg weiterhin. Wink

Wink

Übrigens kann man bei solchen Ortskurvengeschichten auch die x-Koordinate nach dem Parameter auflösen und dann erst in die y-Koordinate einsetzen.
Jedoch war es hier eben zweckmäßig auf direktem Wege die x-Koordinate in der y-Koordinate zu erkennen und damit dann sofort die Ortskurve aufzustellen.

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