[Integralrechnung] Unbestimmtes Integral

28.05.2012, 20:20

BeGraves

[Integralrechnung] Unbestimmtes Integral

Hallo

bäuchte mal etwas Hilfe

(b)
Man berechne die unbestimmten Integrale
$\begin{eqnarray*} \int \! x²\cdot ln(x) \, dx , \int \! (cos(x))² \, dx \end{eqnarray*}$

Für das erste habe ich:

mit $\begin{eqnarray*} f'(x) = x² , f = \frac{1}{3}x³ , g=ln(x), g'=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! x²\cdot ln(x) \, dx = \frac{1}{3}x³ \cdot ln(x) - \int \frac{1}{3}x³ \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{3}x³ \cdot ln(x) - \int \frac{1}{3}x² = \frac{1}{3}x³ \cdot ln(x) - \frac{1}{9}x³ \end{eqnarray*}$

Das müsste so auch eigentlich richtig sein?

Beim 2. hab ich schon mehr Probleme. Ich weiß halt laut Integraltabelle von Wiki das

$\begin{eqnarray*} \int (cos(x))² = \int cos²(x) = \frac{1}{2}(x+sin(x)\cdot cos(x)) \end{eqnarray*}$

ist. Aber ich weiß weder warum noch wie ich da hinkommen soll? Wie rechne ich das am Besten? Wollte erst $\begin{eqnarray*} \int cos(x) \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ rechnen aber da hab ich nur quark bei rausbekommen^^.

c)
Man berechne das unbestimmte Integral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^x-1}\,dx \end{eqnarray*}$

Hinweis: Substitution t=e^x-1

Dann mach ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^x-1}\,dx = \int \frac{1}{t}\,dx = ln(t) = ln(e^x-1) \end{eqnarray*}$

Wie muss ich nun weitermachen? Denn das ist nicht das endgültige Ergebnis?

a)
Man berechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Graphen der Funktionen f (x) = x²-4 x + 3
und g(x) = x² sowie der positiven y-Achse und der geraden x = 2 begrenzt wird.

Wie gehe ich hier am Besten vor bzw was muss ich überhaupt machen?

Hab das mal als Skizze

Mir ist klar welches Flächenstück gemeint ist, aber wie errechne ich das?

Grüße

28.05.2012, 20:46

Helferlein

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Bei b) stimmt die Stammfunktion zur ln-Funktion.
Für die zweite solltest Du partielle Integration zweimal anwenden.

Bei c) hast Du unvollständig substituiert. Du hast zwar das x ersetzt, aber nicht das dx.

d) Welcher Zusammenhang besteht denn zwischen Integration und Flächenberechnung?

28.05.2012, 20:48

riwe

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RE: [Integralrechnung] Unbestimmtes Integral
a) stimmt, denke ich
b) da hilft 2malige (partielle) integration
(beachte dass sin²x = 1 - cos²x)
c) ist falsch, wegen

$\begin{eqnarray*} e^x-1=t\to e^x dx=dt \end{eqnarray*}$

28.05.2012, 21:07

BeGraves

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Okay danke schon mal für die vielen Antworten.
Schaue mir die Sachen sofort an.
Aber erst mal noch der Vollständigkeitshalber:

An Helferlein:
Naja ein Bestimmtes Integral berechnt doch die Fläche einer Funktion zwischen zwei Punkten oder nicht?Müsste ich in meinem Beispiel vllt für die Bezugspunkte die Schnittpunkte zur gerade g=2 von den zwei Funktionen ermitteln?

Grüße

28.05.2012, 21:17

Helferlein

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Wenn wir uns über die Fläche einig sind, dann müsstest Du zwei Schnittpunkte ausrechnen. Nur einer davon liegt aber auf der Funktion y=2.

29.05.2012, 01:55

BeGraves

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Zu
$\begin{eqnarray*} \int (cos(x))² = \int cos(x)cos(x) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe es nicht, drehe mich da im Kreis selbst mit zweimaliger partieller Integration

$\begin{eqnarray*} \int cos(x)cos(x) = sin(x)cos(x) - \int sin(x)sin(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich also beim sin(x)sin(x) noch mal partielle Integration anwenden gehe ich mal von aus?
$\begin{eqnarray*} = sin(x)cos(x) - \int sin(x)sin(x) = sin(x)cos(x) - [ -cos(x)sin(x)-\int -cos(x)-cos(x)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = sin(x)cos(x) - [ -cos(x)sin(x)-\int -cos²(x)] \end{eqnarray*}$
was mich nun auch nicht gerade weiterbringt?

@riwe woher weiß man das sin²(x) = 1-cos²(x) ist und selbst wenn ich das einsetze bringt es mich ja auch nicht weiter? I.wie hänge ich hier! Hammer

Zur Substitutionsaufgabe hier mache ich auch etwas falsch:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^x-1}\,dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t= e^x-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx = \frac{dt}{e^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^x-1}\,dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{e^x}= \frac{1}{e^x} \int \frac{1}{t} = \frac{1}{e^x} \cdot ln|t| = \frac{1}{e^x} \cdot ln(e^x-1) \end{eqnarray*}$

So zu dem Flächenstück.
Erst mal als Anhang ein Bild, wo ich das Flächenstück was berechnet werden soll, braun markiert habe. Nur um sicher zu gehen das ich das richtig verstanden habe.

[attach]24687[/attach]

Nun würde ich erst mal die Schnittpunkte mit y=2, für die 2 Funktionen berechnen.
Da habe ich:
für x² = x1,2 = wurzel 2
für x²-4x+3 = x1,2 = 2+- wurzel 3

Und nun? Bin auf die idee zu kommen die 2 flächen für x²und x²-4x+3 mit ihren beiden schnittpunkten auf der y=2 geraden zu berechnen und voneinander abzuziehen. Das ist aber unrealistisch das dies, das gesuchte Ergebnis ist.

Grüße

EDIT:

Bzw muss ich ja eigentlich eine Differenzfunktion bilden oder?
das wäre ja f(x)-g(x) = -4x+3
das irritiert mich sehr. Da wäre der Schnittpunkt mit y=2 bei 1/4

Wenn ich jetzt hier aber nur eine "Grenze" habe wüsste ich aber nicht wie ich das rechnen sollte? oder kann ich einfach die andere grenze von x² nehmen und dann quasi

$\begin{eqnarray*} \int_\frac{1}{4}^{1.42} -4x+3\,dx \end{eqnarray*}$ machen?

EDIT(Helferlein): Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite der Seite zu verhindern.

29.05.2012, 11:28

Helferlein

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Zu 1) Nennen wir das gesuchte Integral I, dann hast Du nun die Gleichung
I=2sin(x)cos(x)-I
Die lässt sich doch bestimmt lösen Augenzwinkern

Zu 2) Noch einmal: Substitution bedeutet vollständiges Ersetzen einer Variable durch eine andere. Du hast immer noch ein Gemisch aus x und t erhalten, dass Du dann auch noch eklatant falsch behandelst. Da x von t abhängt, darfst Du es nicht einfach vor das Integral ziehen.

Zu 3) Wo begrenzt denn die y-Achse deine Fläche? Du hast nicht die gesuchte markiert. Gemeint ist die Fläche links davon.

31.05.2012, 15:55

BeGraves

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Huhu,

oh man i.wie hab ich totale Schwierigkeiten.
Mir ist mal aufgefallen das ich mich glaube vorher bei
$\begin{eqnarray*} \int cos²(x) \end{eqnarray*}$
verrechnet habe.

Also noch mal schritt für schritt

$\begin{eqnarray*} \int cos²(x) = \int cos(x) \cdot cos(x) = sin(x)cos(x)- \int sin(x) \cdot -sin(x) \end{eqnarray*}$

hier hatte ich übersehen das das eine -sin(x) ist.

$\begin{eqnarray*} = sin(x)cos(x)- \int sin(x) \cdot -sin(x) = sin(x)cos(x) - \int -sin²(x) \end{eqnarray*}$

nun bringt mich das alles schon wieder nicht weiter?

$\begin{eqnarray*} = sin(x)cos(x) - \frac{1}{4}(sin(2x)-2x) \end{eqnarray*}$

Zur Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^x-1}\,dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t=e^x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^x-1}\,dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{e^x}dt \end{eqnarray*}$

muss ich dann jetzt mit partielle Integration weitermachen?

Zu 3, das habe ich total überlesen das mit y noch begrenzt wird. Total doof formuliert ;D

Hier noch mal ein Anhang um sicher zu gehen das, es nun die richtige Fläche ist.

[attach]24723[/attach]

So, wie berechne ich das dann? Mit dem bestimmten Integral von 0 bis zum Schnittpunkt der funktion f(x)=x²-4x+3 an der gerade mit y=2? Zu welcher Funktion das Ganze?

Grüße

31.05.2012, 19:10

Helferlein

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Zu dem sin²(x) hat Riwe oben schon etwas gesagt. Das solltest Du einsetzten und dann nach dem gesuchten Integral umformen.

Die Fläche stimmt jetzt. Denk mal daran, dass das bestimmte Integral einer positiven Funktion die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse angibt, dann wird es vielleicht klarer.

Zur Substitution: Wenn $\begin{eqnarray*} t=e^x-1 \end{eqnarray*}$ ist, was ist dann x und was dx?

02.06.2012, 17:32

BeGraves

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Du hast ja geschrieben I = 2sin(x)cos(x)-I
das würde sich ja einfach umformen lassen nach 2I= 2sin(x)cos(x) |:2 = I =sin(x)cos(x). das ist aber nicht richtig

Zur Substitution:
dx ist dann e^x und x ist doch =t = e^x-1

Wenn ein bestimmtes Integral die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse angibt, dann geht das hier ja gar nicht ? Bzw ist das hier nicht die Gesuchte Fläche. Muss ich was anderes machen?

03.06.2012, 00:04

Helferlein

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Zitat:

das ist aber nicht richtig

Weil Du einen Rechenfehler drin hattest. Ich hab deine Gleichung nicht nachgerechnet, sondern nur in meinem Posting aufgegriffen. Wie Du ja inzwischen selber gemerkt hast, war die Gleichung nicht ganz richtig, was aber nichts an der Vorgehensweise ändert. Forme die Integralgleichung nach dem gesuchten Integral um und Du kriegst die gesuchte Lösung.

Zitat:

dx ist dann e^x und x ist doch =t = e^x-1

Wie jetzt? x=t ? Wozu dann die Substitution?
Du hast doch $\begin{eqnarray*} t=e^x-1 \end{eqnarray*}$ gesetzt, das musst Du nach x umformen und dann ableiten, um dx=...dt zu erhalten.

Zitat:

dann geht das hier ja gar nicht ?

Wer sagt denn, das man die Fläche nicht aus Teilflächen zusammensetzen kann, die sich über das Integral berechnen lassen?

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