Wirtschaftsmathematik, logistisches Wachstum |
| 28.05.2012, 22:55 | Dulcedeleche | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Wirtschaftsmathematik, logistisches Wachstum In zwei Wochen muss ich eine Mathepräsentation halten. Es geht um Wirtschaftsmathematik und logistisches Wachstum. Ich verlange nicht, dass man mir alle Lösungen gibt, sondern dass ihr euch vielleicht die Zeit gibt, euch das durchzulesen und mir vielleicht ein bisschen hilft und Tips gibt, das wäre echt super und ich würd mich sehr freuen, bin schon echt im Stress damit! 
a) Zeichne qualitativ eine S-förmige Kostenkurve und interpretiere ihren Verlauf im Wirtschaftstheoretischen Zusammenhang (Hab ich fast fertig, ist ja nicht so schwer) b) Entwickle mit Methoden der Analysis Beziehungen zwischen der Grenzkostenfunktion und weiteren wirtschaftstheoretischen Begriffen ( Verstehe ich nicht so richtig, was ist mit "Methoden der Analysis" gemeint? Muss ich hier Methoden der Differentialrechnung bzw Integralrechnung verwenden? Wenn ja, wie?) c) Bestätige, dass eine S-förmige Kostenkurve durch eine ganzrationale Funktion 3. Grades beschreibbar ist. Untersuche welche Werte die Parameter a,b,c und d im Funktionsterm haben können. Ermittle die Kostenfunktion K, wenn folgendes bekannt ist: Die festen Kosten betragen 100?, K(10) = 125?, der Graph hat bei x= ein Sattelpunkt c d) In der Firma wird die Kostenentwicklung untersucht. Es stellt sich leider eine Abweichung vom erwarteten Verlauf heraus: Mit zunehmenden Stückzahlen nimmt auch die lokale Änderungsrate der Kosten zu (statt ab). Noch schlimmer: Diese steigt sogar proportional zu den Kosten selbst. - Begründe, weshalb dieser Sachverhalt ein exponentielles Wachstum der Kosten bedeuten würde. Die Firmenleitung beschließt daraufhin kostendämpfende Maßnahmen: Die Kosten dürfen (zumindest) bis zu einer bestimmt Stückzahl eine feste Kostengrenze nicht überschreiten. - Informiere dich über das logistische Wachstum. Stelle im Sachkontext dar, dass hiermit der bisherige und der zukünftige Kostenverlauf geeignet beschrieben werden kann. Danke im voraus! Meine Ideen: Bei C habe ich folgendes ermittelt: 10x^3+10x^2+10x+100=125, K(10)=125 ich brauche vor allem Hilfe bei D |
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| 29.05.2012, 01:27 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Wirtschaftsmathematik, logistisches Wachstum
Wähle a,b,c so, dass gilt: K(10)=1000a+100b+10c+100=125 Und auch die Forderung nach dem Sattelpunkt, K'(c)=0 und K''(c)=0 erfüllt ist.
Was bedeutet das denn mathematisch in Bezug auf die Kostenfunktion?
Wie kann man diesen Zusammenhang mathematisch erklären/darstellen? |
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| 29.05.2012, 01:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
a) --> Ertragsgesetzliche Kostenfunktion, progressiver Teil der Kurve, Kostenkehre, degressiver Teil d) Wenn sich die lokale Änderung proportional zu den Kosten verhält, muss die Ableitung der Kostenfunktion diese Kostenfunktion selbst bis auf einen Faktor enthalten. Zeige dies, indem du eine allgemeine exponentiell Wachstumsfunktion annimmst und deren Ableitung mit dieser ins Verhältnis setzt. _________________ Stelle zunächst die Funktionsgleichung des logistischen Wachstums auf. Kennzeichen dieser Funktion ist die obers Schranke S, welche auch bei bei fortschreitenden Argumentwerten (Stückzahlen) nicht überschritten werden kann. Dabei gibt es - wie bei a - einen progressiven Teil und einen degressiven Teil der Kurve. Zwischen diesen Teilen befindet sich ein Wendepunkt. Erstelle eine Beispielsfunktion, charakterisiere die obere Grenze (Sättigungswert) und zeichne deren Graph. mY+ |
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| 30.05.2012, 14:43 | Dulcedeleche | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Wirtschaftsmathematik, logistisches Wachstum
Was bedeutet das denn mathematisch in Bezug auf die Kostenfunktion? Genau das verstehe ich nicht, was ist das? Eine Kurve? Oder ist das bloß die Y-Achse (Kosten) die gemeint ist? ________________________________
Heisst das, das die Kurve sich zu einer Gerade entwickelt? Da steht ja was mit exponentielles Wachstum.[/quote] Achso, also damit die lokale Änderungsrate proportional zu den Kosten steigt, müsste die Funktion ungefähr so aussehen: f(x)=2^x, oder? Eine exponentielle Funktion. _________________________________ d) Wenn sich die lokale Änderung proportional zu den Kosten verhält, muss die Ableitung der Kostenfunktion diese Kostenfunktion selbst bis auf einen Faktor enthalten. Zeige dies, indem du eine allgemeine exponentiell Wachstumsfunktion annimmst und deren Ableitung mit dieser ins Verhältnis setzt. Also K(x)=2^x? Als beispiel. Oder muss das so aussehen? K(x)=[ax^3+bx^2+cx+d]^x ?? Und was heisst "bis auf einen Faktor"? Wenn man eine Exponentialfunktion ableitet, kommen doch immer so ne langen Ergebnisse raus. Edit (mY+): Dreifachpost zusammengefügt. |
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| 31.05.2012, 12:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nimm einmal die Funktion diese beschreibt das (unbeschränkte) exponentielle Wachstum und bilde von dieser die Ableitung. Wie verhält sich diese zur ursprünglichen Funktion? mY+ |
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| 01.06.2012, 14:18 | Dulcedeleche | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Wirtschaftsmathematik, logistisches Wachstum
Wähle a,b,c so, dass gilt: K(10)=1000a+100b+10c+100=125 Warum soll ich nur a, b und c wählen? Was ist mit d? Ich muss doch die Werte für a, b, c und d rausfinden. Was für Werte haben diese Parameter denn in deiner Gleichung? |
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| 01.06.2012, 14:44 | Dulcedeleche | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Wirtschaftsmathematik, logistisches Wachstum Ach und bei C, x=20, da befindet sich ein Sattelpunkt, vergessen aufzuschreiben. Ändert das was in der GLeichung? Müsste dann b nich b<0 weil bei x=20 ein extrempunkt ist??? Also 1000a-100b+10c+100 |
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| 03.06.2012, 18:37 | Dulcedeleche | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist die lokale Änderungsrate die erste Ableitung? |
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| 03.06.2012, 19:16 | Dulcedeleche | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Ableitung wäre (wenn ich mich nicht irre) : f'(x)=e^kx+c*k*e^kx nach der Produktregel. Ist das richtig? Das hilft mir aber nicht, weiss nicht was ich jetzt damit beweisen kann. Was bedeutet "c" und "k" in Bezug zum Thema Kosten??? Sind "c" die Fixkosten?? Danke im Vorraus!!!!! |
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| 03.06.2012, 20:52 | Dulcedeleche | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein: DAS ist die Ableitung von c*e^(kx): ck*e^(kx) Es ergibt sich noch ein k... Aber trotzdem weiss ich nicht was ich genau damit anfangen soll, die selben Fragen wie oben (Was bedeuten c und k) |
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| 04.06.2012, 00:03 | Dulcedeleche | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stelle zunächst die Funktionsgleichung des logistischen Wachstums auf. Kennzeichen dieser Funktion ist die obers Schranke S, welche auch bei bei fortschreitenden Argumentwerten (Stückzahlen) nicht überschritten werden kann. Dabei gibt es - wie bei a - einen progressiven Teil und einen degressiven Teil der Kurve. Zwischen diesen Teilen befindet sich ein Wendepunkt. Erstelle eine Beispielsfunktion, charakterisiere die obere Grenze (Sättigungswert) und zeichne deren Graph. mY+[/quote] So, das mit der Exponentialfunktion habe ich schon verstanden, aber ich raffe einfach nicht was die Konstante k bedeutet??? Ich habe nach k aufgelöst und ich verstehe nicht was die ergebenen Ergebnisse bedeuten sollen. Prozentuales Wachstum der Kosten pro weitere Produzierter Einheit? Oder was? BITTE UM HILFE |
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| 04.06.2012, 16:54 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zunächst muss man die ganzrationale Funktion 3. Grades und die Funktion des logistischen Wachstums auseinanderhalten. Beide sind von der Funktionsgleichung her grundverschieden, können jedoch hinsichtlich des Graphen innerhalb eines definierten Bereiches gewisse Ähnlichkeiten aufweisen: Beide genügen den ertragsgesetzlichen Anforderungen (degressiver und progressiver Teil, Wendepunkt und steigende Monotonie. Mit steigende Stückzahlen wächst die polynomische Funktion jedoch sehr stark, währenddessen die logistische Funktion einem Sättigungswert zustrebt. ____________ Bei der Exponentialfunktion ist k die Wachstumskonstante. Den (prozentuellen) Wachstumsfaktor bekommt man erst, wenn man so umwandelt: , setze , somit gilt ____________ Im Prinzip gilt das Gleiche auch für die logistische Funktion. Allgemein lautet sie wobei man wieder zusammenfassen kann: Diese Dinge herauszufinden, wäre allerdings auch deine Aufgabe gewesen. Nebenbei bemerkt, ist deine polynomische Kostenfunktion (3. Grades) nicht richtig! Außerdem fehlte in der Angabe, an welcher Stelle das Polynom der Kostenfunktion den Sattelpunkt haben soll (EDIT: Ach ja, du hast die Information später nachgereicht). Du hast leider die gegebenen Hinweise nicht konkret umgesetzt und einen Monolog aus 5 (!) Posts hintereinander verfasst, aus denen leider nicht viel herauszulesen ist. Da du eine Antwort von Frank erwartest hattest, habe ich mich bisher zurückgehalten. Wir wollen aber, dass die Aufgabe zu einem Abschluss gebracht wird und du die Dinge auch wirklich verstehst. Der u.s. Graph ist NICHT die Lösung, sondern ein ähnliches Beispiel, wie diese Kostenfunktionen verlaufen könnten. Du musst zunächst mal die Kostenfunktion 3. Grades richtig berechnen ... Beispiel: Rot: Polynomfunktion Grün: Logistische Funktion mY+ |
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| 04.06.2012, 20:42 | Dulcedeleche | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erst mal vielen Dank für die Antwort! Ja, ich weiss, dass diese beiden Funktionen verschieden sind. Mir ist aber immer noch nicht klar, was das bedeutet mit der Schranke (die Grenze) bei der logistischen Funktion. Diese Schranke wird irgendwann erreícht und dann was? Ende der Produktion? Oder nehmen ab dann die Kosten nicht mehr zu, obwohl weiterhin Produziert wird. Das ist mir immer noch nicht klar. Meine Frage war, was k bei der logistischen Funktion bedeuten soll. Man kann den Wert für k finden, wenn man nach k auflöst. Ich habe jedoch ganz andere Formeln gefunden, nämlich: f'(t)=k*f(t)*(S-f(t) und die diskrete Funktion: f(t+1)= f(t)+k*f(t)*(S-f(t)) Sind die jetz falsch? Ich habe halt Werte für S und f(t) eingesetzt und nach k aufgelöst, was heisst aber k im ökomischen Sinne im Hinblick auf die Kosten?? Aufgabe d mit der Polynomfunktion habe ich schon gelöst. Habe ein Gleichungssystem aufgestellt (I. K(20)=125, II. K'(20)=0 und III. K''(20)=0) und habe folgendes Ergebnis bekommen: 0,0357x^3-0,1243x^2+4,2857x+100 Bei deiner Beispielfunktion (c*e^kx) dachte ich dass c die Fixkosten und k die variablen Kosten sind, ist das dann doch nicht so? Danke noch mal |
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| 05.06.2012, 00:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Koeffizient des quadratischen Gliedes ist -3/14, daher - 0,2143, bei dir sind die Dezimalstellen offensichtlich verdreht. Besser ist, du lässt die Brüche stehen, anstatt auf Dezimalstellen überzugehen. Deine "ganz andere" Formel ist nicht die endgültige Wachstumsfunktion, sondern deren Differentialgleichung. Diese musst du nun auflösen, willst du weiter mit ihr rechnen. Immerhin kannst du dort k als jenen Proportionalitätsfaktor erkennen, vermittels dem die Änderungsrate vom momentanen Bestand und dem Sättigungsmanko abhängig ist. Und deine "diskrete Funktion" ist eine Rekursionsformel, aus welcher ebenso erst das kontinuierliche Wachstumsgesetz abzuleiten ist. Das k ist bei der logistischen Wachstumsfunktion ebenfalls - wie beim exponentiellen Wachstum - die Wachstumskonstante (und daher keineswegs identisch mit den variablen Kosten selbst, diese hängen allerdings von k ab).
Das ist so nicht ganz zutreffend. Zwar sind K(0) = c die Fixkosten, die variablen Kosten sind aber dann die Differenz k(x) = K(x) - K(0). Natürlich ist diese Differenz von k abhängig. Im Prinzip ist diese Funktion jedoch als Kostenfunktion ungeeignet. Es war ja auch deine Aufgabe, die Gründe dafür zu zeigen (Aufgabenteil d). Daher wird eine abgeänderte Wachstumsfunktion, nämlich die logistische Wachstumsfunktion, für die Kostenentwicklung vorgesehen. Deren Schranke S ist eine Kostengrenze, welche nicht überschritten wird, aber es hindert doch nicht daran, dass die Produktion weiterläuft, im Gegenteil, dann wird die Sache erst interessant. Denn bei weitgehend gleichbleibenden Kosten werden bei steigenden Stückzahlen die Stückkosten (durchschnittliche Kosten) immer kleiner. Auch hier werden die Fixkosten von K(0) repräsentiert und die variablen Kosten durch die Differenz K(x) - K(0). Mittels der Stützpunkte, die die Polynomfunktion nun vorgibt, kann jetzt eine in einem entsprechenden Intervall adäquate logistische Wachstumsfunktion berechnet werden. mY+ |
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| 10.06.2014, 19:34 | MA5610 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, ich bin gerade durch Zufall auf diese Seite gekommen und habe mich gleich mal angemeldet. Ich habe die gleiche Aufgabe erhalten wie du, und wollte mal fragen, ob du vielleicht noch ein paar Tipps für mich hast? Ist ja auch schon 2 Jahre her jetzt, aber vielleicht habe ich ja Glück und du meldest dich noch. Wäre auf jeden fall sehr dankbar! |
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| 11.06.2014, 01:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da musst du schon konkreter werden. Welche Fragen und eigene Ideen/Ansätze/Beispiele hast du dazu? mY+ |
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