Berechnung Basis von Nebenklassenvektoren??

29.05.2012, 08:40

Hilfloser4

Berechnung Basis von Nebenklassenvektoren??

Meine Frage:
Gegeben seien der Vektorraum $\begin{eqnarray*} V = R^{3} \end{eqnarray*}$ , der Untervektorraum U, der durch alle R-Vielfachen des Vektors $\begin{eqnarray*} u = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Ferner bezeichnen wir die Nebenklasse eines Vektors $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ im Faktorraum V/U bezeichnen wir mit [v]. Ferner bezeichnen wir die bezüglich der Standardbasis E des $\begin{eqnarray*} R^{3} \end{eqnarray*}$ durch die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ definierte lineare Abb. $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

a) Berechnen sie den Kern von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .
b) Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray*} B = \left\{\left[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right]\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V/U ist.
c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} \left[\phi\right]_{B}^{B} von [\phi] \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis B.

Meine Ideen:
Also die a) ist ja ganz einfach. Muss ich doch nur die Matrix auf Zeilenstufenform bringen und sehen was übrig bleibt oder? Das müsste die erste und zweite Zeile sein, weil die letzte - 2* die erste - die zweite ja wegfällt.

bei der b) bräuchte ich Hilfe. Ich weiß wie ich zeige, dass das ne Basis ist, indem ich einfach schau ob ich jeden Vektor darstellen kann und meiner Meinung nach geht das auch, aber ich weiß nicht inwiefern ich das mit der Nebenklasse in Verbindung bringen soll. Könnte mir das jemand erklären bitte?

c) Da weiß ich eigentlich auch wie man das macht nur nicht bei Nebenklassen, bitte ebenfalls um Erläuterung
Danke

29.05.2012, 11:05

DP1996

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Zu a)

Zitat:

Das müsste die erste und zweite Zeile sein

Korrekt! Wie sieht also nun der Kern aus?

Zu b)

Da gibt's meines Erachtens zwei Möglichkeiten:

Die erste: Du zeigst, dass B tatsächlich in V/U liegt, dass die linear unabhängig sind und dass es für jeden Vektor aus V/U ne Linearkombination gibt, indem du die Definition von V/U anwendest.

Die zweite (und kürzere): V/U ist isomorph zum komplement von U in V. Den Satz kann man hier sehr schön anwenden.

Zu c)

Zitat:

Da weiß ich eigentlich auch wie man das macht nur nicht bei Nebenklassen

Eigentlich genauso wie normal auch, du musst blos ausrechnen, was rauskommt wenn du deine lineare Abbildung auf B anwendest.

29.05.2012, 14:49

Hilfloser4

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also der Kern müsste folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} Kern(\phi)=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

zu b)

ich weiß leider nicht ob das einer deiner lösungsvorschläge entspricht, daher schreib ichs jetzt einfach mal hin: hab grade den Tipp bekommen, dass es ausreicht folgendes zu zeigen: wir addieren die Vektoren der Menge B mit dem Vektor u und stellen im prinzip ein LGS auf, bei der die einzige Lösung für die koeffizienten r,s,t vor den einzelnen summanden 0 sein muss, also die triviale lösung.

das heißt folgendes: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r & s & 2t \\ 0 & s & t \\ r & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und da sieht man leicht das r=s=t=0 rauskommen muss, damit das aufgeht

zur c) leider wurde mir gerade etwas anderes gesagt als das was ich bisher gemacht habe und ich bin momentan auch bei der c) etwas verwirrt weil ich nicht weiß, wie ich die Nebenklasse von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bilde und wie ich dann weitergehe kann mir das jemand erklären?

30.05.2012, 13:07

DP1996

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Zitat:

Original von Hilfloser4
also der Kern müsste folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} Kern(\phi)=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

falsch. (Mach doch mal die Probe) Tipp: Der Kern ist eindimensional

Zitat:

ich weiß leider nicht ob das einer deiner lösungsvorschläge entspricht, daher schreib ichs jetzt einfach mal hin: hab grade den Tipp bekommen, dass es ausreicht folgendes zu zeigen: wir addieren die Vektoren der Menge B mit dem Vektor u und stellen im prinzip ein LGS auf, bei der die einzige Lösung für die koeffizienten r,s,t vor den einzelnen summanden 0 sein muss, also die triviale lösung.

Das geht in Richtung meines zweiten Lösungsvorschlages: Du zeigst, dass die Repräsentanten von B zusammen mit dem Vektor u Basis von V sind (hast du gemacht). Dann st klar (aus Dimensionsgründen), dass der Unterraum von V, der durch die Repräsentanten von B aufgespannt wird, nur den Nullraum mit U gemeinsam hat, also die beiden Unterräume komplementär zueinander sind. Und dann folgt das mit der Basis unmittelbar aus meiner Bemerkung zur Isomorphie oben.
(Die Frage ausschließlich auf die Lösung eines LGS herunterzubrechen erscheint mri etwas unvollständig.)

Zitat:

c) etwas verwirrt weil ich nicht weiß, wie ich die Nebenklasse von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bilde und wie ich dann weitergehe kann mir das jemand erklären?

Meines Erachtens steht $\begin{eqnarray*} [\phi] \end{eqnarray*}$ nicht für die Nebenklasse von phi (wie sollte das gehen?) sondern für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , angewendet auf die Nebenklassenvektoren.

30.05.2012, 21:31

Hilfloser4

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ich steh irgendwie grad aufm schlauch.wieso ist der kern eindimensional?

zur c) was muss ich da dann eigentich machen? wie gesagt ich weiß es grad nicht.

31.05.2012, 11:23

DP1996

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Zitat:

wieso ist der kern eindimensional?

Rechne es doch einfach aus, dann merkst du es. Deine Lösung oben war falsch.

zur c)

Ich würde so vorgehen:
Zuerstmal werden alle Elemente einer Nebenklasse auch in die gleiche Nebenklasse abgebildet, d.h. $\begin{eqnarray*} \left[\phi\right]_B^B \end{eqnarray*}$ ist wohldefiniert. Das ist meines Wissens nicht immer so, folgt jedoch sofort aus der a). Als nächstes:
$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = \left[ \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = 3\left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] + 4\left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$

(Das zweite Gleichheitszeichen entsteht dadurch, dass man einfach einen schöneren Vektor aus der gleichen Nebenklasse wählt, der sich besser durch die Basisvektoren darstellen lässt.)

Und das gleiche musst du noch mit dem zweiten Basisvektor machen, dann hast du die Matrix praktisch schon.

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