Zerlegung in irreduzible Elemente in R

29.05.2012, 09:25

Hilfloser4

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Zerlegung in irreduzible Elemente in R

Meine Frage:
Geben Sie für das Element $\begin{eqnarray*} x^{6} \in R \end{eqnarray*}$ 2 Zerlegungen in irreduzible Elemente von R an, die bis auf Reihenfolge und Einheiten verschieden sind.

Meine Ideen:
Also ich habe mir gerade 2 Stunden lang, Beispiele im Internet angeschaut, weil wir das nicht in der VL erklärt bekommen haben und ich werde leider nicht schlau daraus. Könnte mir jemand erklären was man bei einer solchen Zerlegung machen muss ( mit Beispiel vlt.? ) Das wär super danke euch.

29.05.2012, 09:27

DHD

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Was ist x , was ist R?

29.05.2012, 09:31

Hilfloser4

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oh sry, das hab ich vergessen anzugeben... mein fehler

$\begin{eqnarray*} x^{6} \end{eqnarray*}$ soll ein Element aus $\begin{eqnarray*} R = \left\{ \sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \in K | a_{1}=0 \right\} \end{eqnarray*}$ sein, wobei R ein Unterring ist.

29.05.2012, 09:39

DHD

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$\begin{eqnarray*} x^6= x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} x^6 =x^3\cdot x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2, x^3 \end{eqnarray*}$ sind irreduzibel weil $\begin{eqnarray*} x \notin R \end{eqnarray*}$

P.S. Ich verwende $\begin{eqnarray*} R= \{ f \in K[x]| f'(x)\neq 0\} \end{eqnarray*}$ (sprich Polynome mit Koeffizienten in K). $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k} \in K \end{eqnarray*}$ ist in der Hinsicht schwammig (insbesondere da das x nicht definiert ist, aber keine Variable sein kann.)

29.05.2012, 09:44

Hilfloser4

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das isses schon? so einfach oO

omg...da wär ich auch noch drauf gekommen, aber das das so einfach is glaub ich ja fast nit... danke dir schonmal...dann hab ichs auf jeden fall richtig verstanden...

ja die aufgabenstellung ist häufiger nicht eindeutig...

nur eine Frage noch: entspricht die Lösung jetzt der Aufgabenstellung bzgl. "bis auf Reihenfolge und Elemente verschieden"?

Danke dir auf jeden fall, jetzt müsst ichs auf jeden fall verstanden haben

29.05.2012, 09:54

DHD

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Du musst natürlich noch zeigen:
$\begin{eqnarray*} x^2,x^3 \end{eqnarray*}$ irreduzibel und bis auf Einheiten verschieden (auch nicht assoziiert genannt)

Zerlegung in irreduzible Faktoren ist im Wesentlichen wie Primfaktorzerlegung bei natürlichen Zahlen.

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29.05.2012, 10:08

Hilfloser4

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ok....wie zeige ich das? das hab ich ernsthaft noch nicht gehört.... ( mit der Primfaktorzerlegung kann ich was anfangen, das ist ein guter Vergleich )

29.05.2012, 10:14

DHD

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Könntest du bitte etwas präziser ausdrücken was dein Problem ist?

Mal so am Rande: Was sollen die ... im Text? Schreibst du hier SMS?

29.05.2012, 14:39

Hilfloser4

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Zitat:

Original von DHD
Du musst natürlich noch zeigen:
$\begin{eqnarray*} x^2,x^3 \end{eqnarray*}$ irreduzibel und bis auf Einheiten verschieden (auch nicht assoziiert genannt)

Zerlegung in irreduzible Faktoren ist im Wesentlichen wie Primfaktorzerlegung bei natürlichen Zahlen.

ich weiß nicht wie ich das zeigen soll. du hattest weiter oben gesagt das x kein Element aus R ist, das ist doch eigentlich schon das, was zu zeigen ist oder nicht? und das zweite: dass die Einheiten verschieden sein sollen, kann ich leider nichts mit anfangen, weil wir das nicht in der Vorlesung angesprochen hatte. hoffe du kannst mir weiterhelfen.

29.05.2012, 15:14

DHD

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Der Beweis benutzt der Irreduzibilität vob x², x³ benutzt dass x nicht in dem Ring liegt.
Wie man das zeigt? Mit der Definition von irreduzibel.

verschieden bis auf Einheiten (nicht assoziiert):
in den ganzen Zahlen sind -2 und 2 prim und damit irreduzibel. Sie unterscheiden sich aber nur durch die Einheit -1. -2 und 2 sind "im Wesentlichen" das selbe irreduzible Element.
Du musst hier also zeigen, dass es keine Einheit a in R gibt mit ax²=x³.
(Du könntest $\begin{eqnarray*} x^6 = x^3 \cdot x^3 = (-x^3)\cdot (-x^3) \end{eqnarray*}$ schreiben aber hier würden sich die irred. Faktoren nur um Einheiten unterscheiden.)

Und noch eine Anmerkung:
Das etwas vom Übungsblatt in der Vorlesung nicht angesprochen würde höre ich sehr oft. Es stimmt praktisch nie. Sowas steckt sehr gerne in überlesenen halbsätzen des Skripts.

29.05.2012, 15:31

Hilfloser4

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ich hab das skript von vorne bis hinten durchgearbeitet da steht leider wirklich nichts unglücklich

unglücklich

aber ich merk grad was andres: auf dem Übungsblatt ist ganz klein angemerkt dass R nullteilerfrei ist. demnach ist die sache der irreduzibilität doch geklärt oder? ( siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Integrit%C3%A4tsring --> irreduzibilität )

zum zweiten: ist das dann über die Nullteilerfreiheit nicht auch geklärt? weil wenn x ja nicht element vom R ist, ist das a ja nicht existent damit $\begin{eqnarray*} x^{2} \cdot a = x^{3} \end{eqnarray*}$

29.05.2012, 15:40

DHD

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Wie habt ihr denn Irreduzibilizät definiert ?
Die mir bekannte Definition benötigt einen Int.ring.

Wieso wehrst du dich so massiv die Definition nachzurechnen/nachzuweisen?
(Das interessiert mich wirklich. Ich habe schon öfter bemerkt bemerkt, dass sich Leute die sich mit einem Thema schwertun gerne irgendwelche Sätze drüberhauen wollen statt sich mit der Def. auseinanderzusetzen.)

Zitat:

weil wenn x ja nicht element vom R ist, ist das a ja nicht existent damit $\begin{eqnarray*} x^{2} \cdot a = x^{3} \end{eqnarray*}$

Warum muss denn a=x sein? (Ich nehme an das ist deine Argumentation?)

29.05.2012, 15:47

Hilfloser4

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irreduzibel haben wir so definiert:

$\begin{eqnarray*} p \in R \end{eqnarray*}$ heißt irreduzibel in R, falls $\begin{eqnarray*} p \notin R^{x} und p = ab \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} a \in R^{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in R^{x} \end{eqnarray*}$

wir nennen das (Haupt-)Idealring

ich wehr mich dagegen, weil ich nicht weiß WIE!! ich erzähl hier keinen mist, dass ich das nicht weiß und es keiner gesagt hat, ich würd wohl kaum hier fragen, wenn ich alles einfach ablesen könnte oder?

danke dir trotzdem bis hierhin, durch deine hilfe komm ich wenigstens dahinter

29.05.2012, 16:05

DHD

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WTF?

geschockt

geschockt

geschockt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p \in R \end{eqnarray*}$ heißt irreduzibel in R, falls $\begin{eqnarray*} p \notin R^{x} und p = ab \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} a \in R^{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in R^{x} \end{eqnarray*}$ wir nennen das (Haupt-)Idealring

Was nennt ihr hier bitte Hauptidealring? Ich hoffe gar nichts.

Ein Hauptidealring ist ein Ring in dem jedes Ideal von einem Element erzeugt werden kann.
Das hat mit irreduzibel an sich nicht so viel zu tun.

Und da hast wieder verschwiegen was für ein Ring R sein soll.

Und weil mir grad langweilig ist: Irreduzibiltät von x^2 hier:
Sei $\begin{eqnarray*} x^2 \in R \end{eqnarray*}$ . z.z. ist $\begin{eqnarray*} x^2=ab \Rightarrow a\in R^* \text{ oder } b \in R^* \end{eqnarray*}$
Wie sieht $\begin{eqnarray*} R^* \end{eqnarray*}$ aus? (Antwort $\begin{eqnarray*} R^*=K^* \end{eqnarray*}$ )
Es ist also o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a\in K^* \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Ann.: $\begin{eqnarray*} a, b \notin R^*=K^* \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} deg(a),deg(b) \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} 2=deg(x^2)=deg(ab)= deg(a)+deg(b) \end{eqnarray*}$ (warum gilt das?)
Damit ist deg(a)=deg(b)=1.
Also a=cx+d, b=ex+f; ab= cex²+x(cf+de) +df =x²
Damit ist d=f=0 und damit $\begin{eqnarray*} a=cx\notin R \end{eqnarray*}$ der ersehnte Widerspruch.

29.05.2012, 16:17

DHD

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Als Nachtrag weil ich im Entsetzen vorher überlesen hab:

Zitat:

ich wehr mich dagegen, weil ich nicht weiß WIE!! ich erzähl hier keinen mist, dass ich das nicht weiß und es keiner gesagt hat, ich würd wohl kaum hier fragen, wenn ich alles einfach ablesen könnte oder?

Ich hab dich hier nirgends persönlich angegriffen. Ich habe auch nirgends gesagt, dass du das Wissen musst oder es dir jemand direkt ins Gesicht gesagt hat. Ich würde dir doch auch nicht helfen, wenn ich der Meinung wäre dass du alles ablesen könntest. Ziel ist es doch, dass Du die Aufgaben selber lösen kannst. Dazu habe ich versucht dich auf ein paar Sachen hinzuweisen - wie dein Skript genauer anzuschauen (wobei: sollte die Def. von eben genauso im Skript stehen, dann solltest du Abstand davon halten.)

Fazit: Bitte lass deine Frustration nicht an jemandem aus der versucht dir zu helfen.

29.05.2012, 16:19

Hilfloser4

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R soll ein Hauptidealring sein

das mit dem deg versteh ich nicht. so viel hatten wir auch noch nicht mit grad muss ich ehrlich sagen.

"Also a=cx+d, b=ex+f; ab= cex²+x(cf+de) +df =x²
Damit ist d=f=0 und damit $\begin{eqnarray*} a=cx\notin R \end{eqnarray*}$ der ersehnte Widerspruch. "

1. versteh ich nicht wie du darauf kommst, könntest du das erläutern?
2. wieso ist ab=ce(x^2)=x^2? der rest fällt weg weil 0 das ist klar nur was ist mit c und e? sind die 1? ich häng grad aber das lichtet den wald zumindest deutlich

29.05.2012, 16:36

DHD

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Wenn eure Def. von irred. ist

Zitat:

Sei R ein Hauptidealring. $\begin{eqnarray*} p \in R \end{eqnarray*}$ heißt irreduzibel in R, falls $\begin{eqnarray*} p \notin R^{x} und p = ab \Rightarrow a \in R^{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in R^{x} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir ein Problem.
$\begin{eqnarray*} R=\{f \in K[x] | f'(0)=0\} \end{eqnarray*}$ ist kein Hauptidealring. ((x²,x³) ist ein Ideal aber kein Hauptideal.)
Besser ist:

Zitat:

Sei R ein Integritätsringg. $\begin{eqnarray*} p \in R \end{eqnarray*}$ heißt irreduzibel in R, falls $\begin{eqnarray*} p \notin R^{x} und p = ab \Rightarrow a \in R^{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in R^{x} \end{eqnarray*}$

Für die deg-Gleichung brauche ich nur deg(fg)=deg(f)+deg(g), das gilt für alle polynome über Int.ringen und ist normalerweise eines der ersten Dinge die man beweist wenn man Polynomringe einführt.

zum Rest:
Ich mache Koeffizientenvergleich.
c und e sind zueinander multiplikativ invers, nicht notwendig aber 1. (Für K die rationalen zahlen könnte z.B. c=2, e=1/2 sein.) Es ist aber vollkommen wurscht was sie genau sind. Einzig notwendig ist dass sie nicht 0 sind.

29.05.2012, 17:58

Hilfloser4

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ich hab auf dem übungsblatt auch stehen ich soll explizit ein Ideal in R ( das von der Aufgabe also dem Unterring ) angeben, welches kein Hauptideal ist. was wäre das dann in meinem Fall? Mein Problem ist eben, dass wir in der VL ganz andere Sachen machen teils als auf den Übungsblättern nud wenn wir ihm das dann sagen ( also dem übungsleiter ) macht der nur ein verdutztes gesicht und streicht die hälfte der aufgaben wieder, weil wirs nit gemacht haben. es ist nicht so dass ich das nicht verstehen will, sondern ich kanns nit weil ich zu wenig wissen hab und ich studier nebenbei noch latein da hab ich nicht den ganzen tag zeit mir mathe in kopp zu kloppen verstehst? und ich will das ja verstehen sonst würd ich ja hier nicht fragen.

könntest du mir vlt dass nochma komplett aufgabe für aufgabe zusammentragen? weil ich in den ganzen posts auch schon den faden verlier..bzw einfach ne reihenfolge der posts angeben wie ich was lesen muss? unglücklich

unglücklich

danke dir aber für deine mühen du bist der einzige der mir wirklich weiterhelfen konnte und hat

29.05.2012, 18:21

DHD

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Sorry, dein letzter Post bewirkt mir das absolute Gegenteil von dem was du offenbar bezweckst.
Ich kann Schleimen nicht austehen. Du sagst ich bin der einzige der dir wirklich weiterhelfen konnte, hast aber bereits über 100 Posts. Damit bist du allen anderen die dir bereits helfen wollten und geholfen haben gegenüber extrem undankbar. Oder du sagst es nur um mich dazu zu bringen noch mehr Arbeit reinzustecken:

Zitat:

könntest du mir vlt dass nochma komplett aufgabe für aufgabe zusammentragen

Erstens:
Ich habe dir bereits die Aufgabe fast komplett gelöst, ohne dass du groß was dazu beigetragen hättest - mal abgesehen von jammern.
Zweitens:
Wieso sollte ich mir diese zusätzliche Arbeit machen?
Ich mach auch noch andere Sachen verstehst?

Mal ganz abgesehen davon dass ich davon ausgehen muss, dass du eh nicht genau liest was ich schreibe, denn

Zitat:

ich hab auf dem übungsblatt auch stehen ich soll explizit ein Ideal in R ( das von der Aufgabe also dem Unterring ) angeben, welches kein Hauptideal ist. was wäre das dann in meinem Fall?

das habe ich bereits im Post zuvor explizit beantwortet.

Zitat:

und ich studier nebenbei noch latein da hab ich nicht den ganzen tag zeit mir mathe in kopp zu kloppen verstehst?

Jeder Student hat noch ein Nebenfach, etliche müssen auch noch arbeiten. Wenn du es nicht schaffst, dann lass es.

Zitat:

.bzw einfach ne reihenfolge der posts angeben wie ich was lesen muss?

Wie im Abendland üblich: von oben nach unten.

30.05.2012, 18:48

gelini

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ich muss hier grade mal was antworten: ich sitze in der gleichen Vorlesung wie "hilfloser4", es sind ganz genau die gleichen Aufgaben und definitionen Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber wir haben das definitiv NICHT einen Hauptidealring genannt! Und mit den Einheiten haben wir uns am 18.Mai ausgiebig beschäftigt. Vielleicht wirst du da fündig, Hilfloser 4 smile

smile

30.05.2012, 21:34

Hilfloser4

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ja ich habs gestern gesehen gelini danke dir smile

smile

die seiten hatte ich nicht eingeheftet..war kein wunder dass mir was gefehlt hat...

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